Эллипсоид что это: Тренажер эллипсоид, какие мышцы работают, как подобрать программу

преимущества, отличия, тренировки — «Fito» — красота и здоровье

Идея разработать тренажер, который был бы не менее эффективным, чем беговая дорожка, но более щадящим для суставов, зародилась давно. В конце 80-х появились первые наброски для конструкции такого тренажера, а в начале 90-х его было налажено его массовое производство.

Учитывая форму основного движущегося элемента, этот тренажер назвали эллиптическим, или эллипсоидом. Он стал таким популярным, что сегодня каждый может решить для себя, что лучше ему подходит — эллипсоид или беговая дорожка.

Тренажер эллипсоид

Эллиптический тренажер — что это такое?

По своей сути, эллипсоид – это нечто среднее между велотренажером и беговой дорожкой.  С беговой дорожкой он схож характером движения ног и рук, а с велотренажером – тем, что ноги в этом тренажере фиксируются на педалях. Поэтому движения напоминают скорее не обычный бег или шаг, а ходьбу на лыжах. Они получаются более плавными и размеренными, без сильных толчков и ударных воздействий на суставы и позвоночник.

Для людей имеющих заболевания позвоночника бег крайне не желателен из-за большой ударной нагрузке. Настоящая находка для таких людей — эллипсоид. Эффективный по нагрузке он не допускает ударов на позвоночник, которые неизбежно возникают при беге.

Эллипсоид бережет опорно-двигательную систему и позвоночник

При этом мышцы, сердце и сосуды получают такую же нагрузку, как на беговой дорожке, а калории сжигаются ничуть не с меньшей скоростью.

Эллипсоид дает полноценную нагрузку на мышцы, сердце и сосуды

Эллипсоид — для чего он нужен?

Очень многие используют эллипсоид для похудения. И это хороший выбор. Действительно, когда в теле есть лишние килограммы, неизбежно возрастает нагрузка на костно-суставной аппарат. Поэтому относительно щадящие занятия на эллиптическом тренажере будут целесообразнее с точки зрения сбережения здоровья, чем интенсивный бег на дорожке или по пересеченной местности.

Однако даже тем, кто уже привел свое тело в форму, будут не лишними занятия на эллипсоиде. Они помогут поддерживать тонус сердечно-сосудистой и дыхательной системы, сохранять подвижность коленей, тазобедренных и голеностопных суставов, разминать мышцы спины и ног. В таком случае занятия на эллипсе можно использовать как подготовку к более интенсивной нагрузке или отдельно, в качестве кардиотренировок.

Эллипсоид для здоровья и красивой фигуры

Чем отличаются эллипсоид, беговая дорожка и велотренажер по воздействию на мышцы?

При достаточно активной работе на любом из этих тренажеров основная доля нагрузки приходится на мышцы ног, ягодиц и спины. Если при этом подключить движение рук, то прорабатывается и верхний плечевой пояс.

Однако в велотренажере акцент всегда приходится на икроножные мышцы и мышцы бедра, проработать на нем ягодицы достаточно сложно. На беговой дорожке и эллипсоиде ягодицы задействовать несложно – нужно лишь выбрать оптимальный режим движения, наклон плоскости, степень сопротивления. Поэтому когда вы выбираете беговую дорожку или эллипсоид, мышцы, какие работают, зависит скорее не от вида тренажера, а от настроек.

Эллипсоид отлично прорабатывает как мышцы ног, так и ягодичные мышцы.

Как правильно заниматься на тренажере?

Вопрос, который неизбежно возникает, если вы выбираете эллипсоид — как правильно тренироваться, чтобы получить максимальный результат? Лучшим ответом на него будет простое правило: начинать с умеренных нагрузок и постепенно наращивать их, повышая выносливость организма и укрепляя мышечный корсет.

Варьировать можно как со степенью сопротивления и скоростью движения, так и со временем тренировок. При этом нужно прислушиваться к собственным ощущениям. Оптимально, если тренировка завершается с ощущением приятной усталости. Но само занятие не должно казаться слишком простым. Если вы не прилагаете усилий, время, проведенное на тренажере, проходит практически впустую.

Тренировка на эллипсоиде

Во время занятия на эллипсоиде прилагайте усилия но не допускайте переутомления.

Тренировка на эллиптическом тренажере (видео)

Урок на эллипсоиде дома и в тренажерном зале:

Как похудеть с помощью эллиптического тренажера (видео)

Тренировка на эллипсоиде для желающих похудеть:

Эллипсоид — обзор фирм производителей тренажеров

Выбирая, какой эллипсоид лучше, многие в первую очередь обращают внимание на производителя. С одной стороны, это самое простое решение. Чем надежнее компания, которая выпустила данный продукт, тем больше вероятность, что он прослужит много лет после истечения гарантийного срока.

К самым популярным производителям эллиптических тренажеров сегодня относятся:

• Torneo
• Kettler
• Nordic
• Lifespan
• Svensson
• Sport Elite

При выборе конкретной модели стоит обратить внимание на ее функциональность, интервал изменения и систему нагрузки, массу маховика и расстояние между педалями. Чем выше масса маховика, тем более плавный получается ход у педалей, чем больше расстояние между педалями, тем больше нагрузки приходится на колени. Оптимально, если маховик располагается спереди и движется за счет электромагнитов – в этом случае педали идут плавно и практически бесшумно, обеспечивая максимальную нагрузку на мышцы ягодиц и ног.

Посмотрите на видео, чем отличаются друг от друга эллиптические тренажеры и как правильно его выбрать:

Отзывы о занятиях на тренажере

Отзывы тех, кто регулярно занимается на эллипсоиде, подтверждают эффективность этого тренажера. С его помощью многим удается решить проблемы с весом, одышкой, колебаниями артериального давления, повысить общий тонус и выносливость тела, сформировать красивый рельеф. Все это становится возможным при условии грамотного подхода и регулярности занятий. Сам по себе тренажер – лишь инструмент, который можно использовать для достижения своей цели.

Эллиптический тренажер

На сегодняшний день существует множество эффективных способов похудения в домашних условиях. Одним из них является эллиптический тренажер, имитирующий бег человека. Это один из лучших современных тренажеров, способный превратить жилище в настоящий фитнес-клуб. Судите сами, он заменяет сразу 3 популярнейших приспособления: велотренажер, беговую дорожку и степпер. Такой спортивный агрегат отлично подходит для людей, не имеющих времени на тренировки в зале. Особенно полезен тренажер эллипсоид для похудения: занятия на нем способствуют интенсивному сжиганию жира и эффективной проработке многих групп мышц.

Принцип действия эллиптического тренажера

Эллиптический тренажер для похудения — представитель семейства кардиотренажеров. Занятия на таком оборудовании предполагают имитацию бега, но при этом щадяще воздействуют на организм. Благодаря дополнительным функциям, которыми снабжен компактный эллиптический тренажер, человек может следить за пульсом и расходом калорий. В отличие от бега, подобный кардиотренажер позволяет двигаться не только вперед, но и назад, в результате чего задействуются практически все группы мышц. Это значит, что уже после первых нескольких занятий ваше тело станет более подтянутым.

Не будет преувеличением сказать, что эллиптический тренажер для похудения превосходит по эффективности беговые дорожки и пробежки на открытом воздухе. Прежде всего это обусловлено значительным снижением нагрузки на суставы. К другим аспектам, которые указывают на достоинства эллиптического тренажера складного и делают его лучшим изобретением для сжигания жира, относятся:

1. Возможность регулировки сопротивления дисков маховика. В процессе занятий на таком кардиотренажере можно подобрать подходящий режим нагрузки на мышцы и сердце.
2. Усиленная нагрузка на мышцы туловища. Благодаря подвижным ручкам пользователь может задействовать руки, чтобы нагрузка распределялась не только на них, но и на мышцы пресса. Увеличение нагрузки позволяет добиться максимальной эффективности процесса жиросжигания.
3. Возможность отслеживания сердцебиения. Эллиптический кардиотренажер снабжен системой, которая замеряет частоту сердечного ритма. Это позволяет пользователю удерживать темп, необходимый для сбрасывания лишних килограммов.

Эллиптический тренажер: виды и характеристики

Существуют следующие виды эллиптических тренажеров:

1. Механические. Такие устройства являются самыми простыми и доступными. Их приводит в движение сам человек, поэтому о плавных движениях и низком уровне шума можно лишь мечтать. Тем не менее механический эллиптический тренажер может похвастать доступной ценой, компактностью, небольшим весом и независимостью от розеток.
2. Магнитные. Особенность магнитного эллиптического тренажера заключается в магнитной системе торможения, обеспечивающей плавные движения и низкий уровень шума. Несмотря на невысокую стоимость таких моделей, они являются весьма эффективными для похудения, так как предусматривают несколько типов нагрузки.
3. Электромагнитные. Работа электромагнитных эллиптических тренажеров для дома осуществляется на компьютерном управлении, а в их основе лежит электромагнитная система торможения. Эти модели являются самыми дорогими и долговечными. Занимаясь на электромагнитном эллипсоиде, человек получает возможность самостоятельно подбирать наиболее подходящий уровень нагрузки. К дополнительным функциям данного спортивного оборудования относятся несколько режимов движения: подъем вверх, вниз, хождение по холмам и т. д.

Какой эллиптический тренажер лучше купить? Это зависит от показателей, наиболее важных для вас, а также от целей, которых вы хотите добиться с помощью кардиотренажера.

Заднеприводный или переднеприводный эллипсоид?

Эллиптический тренажер для похудения бывает переднеприводным и заднеприводным. Это зависит от расположения маховика. У заднеприводного эллипсоида маховик находится позади тренирующегося. Преимущества таких моделей заключаются в устойчивой конструкции и компактности, однако во время тренировки тело человека наклоняется вперед, доставляя определенные неудобства. Что касается эллиптических тренажеров переднеприводных, им свойственен естественный горизонтальный ход педалей, позволяющий пользователю тренироваться без необходимости наклона вперед. Именно такие модели являются более востребованными, поскольку в них предусмотрена возможность регулировки длины шага.

Совет от диетолога Ирины Шилиной
Здоровое питание несовместимо со строгими диетическими ограничениями, недоеданием и длительным голоданием. Сегодня незачем стремиться к аномальной худобе, лишая себя пищи! Обратите внимание на новейшие методики по снижению веса 2021 года.
Узнать секрет ->

Польза занятий на эллипсоиде

Вопрос, который волнует всех обладателей эллиптических тренажеров, — польза и вред занятий на таком спортивном оборудовании. Занятия на эллипсоиде способствуют:

• значительному увеличению уровня выносливости;
• укреплению сердечно-сосудистой системы;
• эффективной проработке мышечного корсета;
• укреплению и подтягиванию проблемных зон;
• равномерному и быстрому сбрасыванию лишнего веса;
• укреплению дыхательной системы;
• насыщению клеток кислородом и улучшению их питания.

Если вам интересно узнать про эллиптический тренажер и то, какие мышцы работают во время тренировочного процесса, обратите внимание, что основная нагрузка ложится на спину, ягодицы и ноги. Другие группы мышц начинают работать, когда происходит изменение уровня нагрузки. В процессе занятий на эллипсоиде активно работают мышцы:

• плеч;
• пресса;
• ягодиц;
• ног.

Противопоказания к занятиям на эллиптическом кардиотренажере

Несмотря на массу положительных качеств, имеются у эллиптического тренажера и противопоказания. Он противопоказан людям, страдающим:

• гипертоническим кризом;
• заболеваниями сердечно-сосудистой системы;
• приступами сердечной астмы;
• стенокардией, тахикардией;
• сахарным диабетом;
• онкологией.

Как выбрать эллиптический тренажер?

Перед покупкой тренажера каждый человек хочет получить гарантию того, что он оправдает его ожидания и будет приносить пользу. Для этого следует разобраться, как правильно выбрать эллиптический тренажер. Домашние тренировки могут быть не менее эффективными, нежели в тренажерном зале. Нужно лишь выбрать эллиптический тренажер для дома, который предусматривает различные программы, способные увеличить и уменьшить нагрузку. Преимущество некоторых моделей заключается в пульсозависимых программах, позволяющих регулировать уровень нагрузки. Поручни стандартных моделей эллипсоидов оснащены встроенными измерителями пульса, однако такие устройства недостаточно точны и не очень удобны. Они дают показания исключительно в момент нахождения рук на поручнях.

Если вы не знаете, как выбрать эллиптический тренажер, прислушайтесь к отзывам покупателей. По мнению большинства, более практичными и эффективными являются модели, предполагающие крепление к телу измерителей пульса. Идеальный вариант — электрический или электромагнитный эллиптический тренажер, позволяющий добиться наибольшего эффекта. В любом случае только вам выбирать наиболее подходящую для себя модель данного спортивного оборудования. Какой бы из них вы не отдали предпочтение, помните о том, что выбор эллиптического тренажера должен быть осознанным.

Эллипсоид приносит огромную пользу, но это лишь один из способов, позволяющих придать телу красивую форму. Важно найти тот вид тренировки, от которого вы будете получать не только пользу, но и удовольствие.

Как выбрать эллиптический тренажер для дома?

Фитнес-консультация БЕСПЛАТНО! РАСПРОДАЖА Распродажа беговых дорожек Распродажа велотренажеров Распродажа эллиптических тренажеров Беговые дорожки Беговые дорожки для дома Лучшие беговые дорожки Электрические беговые дорожки Компактные беговые дорожки Профессиональные Полупрофессиональные Беговая дорожка для похудения Недорогие беговые дорожки Механические беговые дорожки CardioPower Koenigsmann Laufstein Oxygen Sole Fitness Unixfit AeroFIT Bronze Gym Carbon Fitness Clear Fit Dender Dfit Evo Fitness Family Fitlux Horizon HouseFit Kettler NordicTrack ProForm Proxima Spirit Fitness Svensson Body Labs Torneo VictoryFit Adidas Aeon Fitness Alexa Alilife Alpha Fitness Altezani Altezza Fitness American Motion Fitness Ammity Apex Applegate Armax Fitness Assault Atemi Atlantic Bailih Basic Fitness BH Fitness Biodex Body Sculpture Body Solid Body Strong Bowflex Bremshey Sport CARE Fitness Champion Circle Fitness Cybex Daum Electronic Deus DFC Diadora Diamond Fitness DK Fitness DKN Technology Domyos Energetics Eurofit Fitex Freemotion Frevola Hasttings Impulse Fitness Intensor Iron Master Itosima Izhimio JKexer Johnson JW-Sport K-Power Kampfer Key Point Kraft Fitness Landice Larsen Lehmann Lexco LifeGear LifeSpan LiveStrong Matrix Motus Nautilus Nessfitworld OptiFit Optima Fitness PaceMaster Panatta Paramount Fitness Precor Pulse Fitness Reebok Royal Fitness Schwinn Smooth Fitness Sport Elite Sportop SportsArt Star Trac Start Line Start Line Stex Stingrey Svensson Industrial Swollen Tatverk Titanium True Fitness TrueForm UltraGym Vision Fitness X-Trend Xiaomi Xterra Yamaguchi Zipro Fitness Беговая дорожка для дома Беговая дорожка domyos Беговая дорожка Precor Беговая дорожка torneo linia Беговая дорожка winner Беговая дорожка без поручней Беговая дорожка для дома авито Беговая дорожка для дома купить Беговая дорожка для дома магазин Беговая дорожка для дома недорого Беговая дорожка для дома недорого на авито Беговая дорожка для дома электрическая недорого Беговая дорожка нота Беговая дорожка складная купить Беговая дорожка смарт Беговая дорожка торнео magic Беговая дорожка Торнео Линия Беговая дорожка Торнео отзывы Беговая дорожка цена в Спортмастере Беговые дорожки для дома электрические Легкая беговая дорожка Лучшие механические беговые дорожки Магнитная беговая дорожка купить Механическая беговая дорожка для дома Мини беговая дорожка Плоская беговая дорожка Складная беговая дорожка для дома Складные беговые дорожки Складные беговые дорожки для дома купить Складные беговые дорожки купить Электрическая беговая дорожка torneo Беговые дорожки интернет магазин Housefit беговая дорожка электрическая Treadmill беговая дорожка Беговая дорожка body Беговая дорожка dfc t Беговая дорожка fit беговая дорожка fitness Беговая дорожка Housefit Беговая дорожка housefit ht Беговая дорожка laguna Беговая дорожка life Беговая дорожка life gym профессиональная Беговая дорожка Nota Беговая дорожка oxygen fitness Беговая дорожка riviera Беговая дорожка Sport Беговая дорожка Svensson Беговая дорожка svensson body labs physioline Беговая дорожка Svensson купить Беговая дорожка torneo nota Беговая дорожка боди Беговая дорожка торнео т Беговые дорожки Sporting Беговые дорожки с доставкой Заказать беговую дорожку Купить беговую дорожку nordictrack Продажа беговых дорожек Торнео беговая дорожка цена Беговые дорожки РФ Беговая дорожка волгоград купить Беговая дорожка для дома купить в спб Беговая дорожка для дома купить недорого москва Беговая дорожка иваново Беговая дорожка ижевск Беговая дорожка Иркутск купить Беговая дорожка купить в екатеринбурге Беговая дорожка купить в краснодаре Беговая дорожка купить в новосибирске Беговая дорожка купить в перми Беговая дорожка купить в Ростове Беговая дорожка купить в ростове на дону Беговая дорожка купить в тюмени Беговая дорожка купить воронеж Беговая дорожка купить Екатеринбург Беговая дорожка купить красноярск Беговая дорожка купить нижний новгород Беговая дорожка купить саратов Беговая дорожка купить СПБ Беговая дорожка недорого в спб Беговая дорожка Новосибирск Беговая дорожка омск Беговая дорожка пермь Беговая дорожка Тверь Беговая дорожка тольятти Беговая дорожка томск Беговая дорожка уфа Беговые дорожки в Минске Беговые дорожки в ростове Беговые дорожки в туле Беговые дорожки воронеж Беговые дорожки для дома Екатеринбург Беговые дорожки для дома СПБ Беговые дорожки екатеринбург Беговые дорожки казань Беговые дорожки кемерово Беговые дорожки киров Беговые дорожки Красноярск Беговые дорожки Москва Беговые дорожки нижний новгород Беговые дорожки Петербург Беговые дорожки СПБ Беговые дорожки Украина Беговые дорожки Челябинск Купить беговую дорожку в Москве Купить беговую дорожку в омске Купить беговую дорожку в спб недорого Купить беговую дорожку рф официальный сайт Магазин беговых дорожек Беговая дорожка Беговая дорожка 2017 Беговая дорожка бу Беговая дорожка в кредит Беговая дорожка для начинающих Беговая дорожка какие Беговая дорожка купить интернет Беговая дорожка купить спортмастер Беговая дорожка модели Беговая дорожка отзывы похудевших Беговая дорожка похудела Беговая дорожка Спортмастер Беговая дорожка условия Беговая дорожка цена Беговая дорожка электрическая цена Беговые дорожки интернет Беговые дорожки цены отзывы Двигатель для беговой дорожки Декатлон беговые дорожки Дорожка беговая 2 Замена беговой дорожке Какая беговая дорожка лучше Какие беговые дорожки лучше для дома Какую беговую дорожку выбрать Каталог беговых дорожек Купить беговую дорожку б у Купить беговую дорожку бу Лучшие электрические беговые дорожки Магнитная беговая дорожка На беговой дорожке можно Реабилитационная беговая дорожка Рейтинг беговых дорожек для дома 2018 Сайт беговых дорожек Смотреть беговые дорожки Тренажер беговая дорожка для дома недорого Тренировка на беговой дорожке Хожу на беговой дорожке Электрическая беговая дорожка авито ТОП10 до 20тыс ₽ Надежные бренды беговых дорожек Беговая дорожка bronze gym Беговая дорожка clear fit enjoy Беговая дорожка Hasttings Беговая дорожка housefit отзывы Беговая дорожка ht Беговая дорожка Magic Беговая дорожка Matrix Беговая дорожка power Беговая дорожка proform Беговая дорожка Proxima Беговая дорожка runway Беговая дорожка stingray st Беговая дорожка svensson body купить Беговая дорожка Torneo Magic Беговая дорожка торнео т 203 Беговая дорожка torneo цена Беговая дорожка yamaguchi runway отзывы Беговая дорожка атеми Беговая дорожка хаус фит Беговые дорожки applegate Беговые дорожки Hasttings Купить беговую дорожку svensson body labs Купить беговую дорожку свенсон боди лабс Сколько стоит беговая дорожка? Беговая дорожка авито Беговая дорожка в домашних условиях Беговая дорожка какие мышцы Беговая дорожка купить в Самаре Беговая дорожка купить в Челябинске Беговая дорожка купить недорого Беговая дорожка Пенза Беговая дорожка с наклоном Беговая дорожка сколько времени Беговые дорожки в в новгороде Беговые дорожки в Нижнем Велосипед беговая дорожка Дешевые беговые дорожки Купить беговую дорожку дешево Купить беговую дорожку недорого Новая беговая дорожка Сколько стоит беговая дорожка для дома недорого Сколько стоит недорогая беговая дорожка Стоимость беговой дорожки Тренажер беговая дорожка недорогой Тренажер беговая дорожка цена Угол наклона беговой дорожки Электрическая беговая дорожка для дома купить Электрическая беговая дорожка для дома купить недорого Электрические беговые дорожки какая лучше Устройство беговой дорожки Бега на беговой дорожке Беговая дорожка мышцы работают Беговые дорожки обзор Контроллер беговой дорожки Край беговой дорожки После беговой дорожки Пульс на беговой дорожке Тренажер беговая дорожка Беговая дорожка 120 кг Беговая дорожка 120 кг купить Беговая дорожка 180 кг Беговая дорожка linia Беговая дорожка pro Беговая дорожка для дома рейтинг лучших Беговая дорожка отзывы Беговая дорожка польза Электрическая беговая дорожка отзывы Беговая дорожка рейтинг лучших Беговая дорожка фитнес Занятия на беговой дорожке Недорогая электрическая беговая дорожка Рейтинг беговых дорожек Рейтинг беговых дорожек 2018 Рейтинг беговых дорожек для дома Беговая дорожка купить Беговая дорожка для квартиры Беговая дорожка для похудения купить Беговая дорожка купить на авито бу Беговая дорожка профессиональная купить Беговые дорожки dfc отзывы Беговые дорожки dfit Где купить беговую дорожку Где можно купить беговую дорожку Купить беговую дорожку в интернет магазине Купить беговую дорожку в магазине Купить беговую дорожку для дома на авито Купить беговую дорожку для дома недорого Купить беговую дорожку на авито Купить беговую дорожку цена Купить домашнюю беговую дорожку Спорт беговая дорожка купить Тренажер беговая дорожка купить Беговая дорожка товар месяца Самые покупаемые беговые дорожки Эллиптические тренажеры Лучшие эллиптические тренажеры Эллиптические тренажеры для дома Эллиптический тренажёр для похудения Складные эллиптические тренажёры Кросстренеры Полупрофессиональные Профессиональные Переднеприводные эллиптические тренажеры Электромагнитные эллиптические тренажеры Mагнитные эллиптические тренажеры Sole Fitness Hasttings Kettler NordicTrack Proxima Spirit Fitness Ammity AppleGate Bowflex CardioPower Clear Fit Dender Evo Fitness Matrix Proform Svensson Body Labs Torneo Winner/Oxygen Adidas AeroFIT Alexa Altezani American Motion Fitness Armax Fitness Atemi Atlantic BH Fitness Body Craft Body Sculpture Body Solid Bremshey Sport Bronze Gym Carbon Fitness Care Fitness Circle Fitness Cybex Daum Electronic Deus DFC Diadora Diamond Fitness DKN Technology Domyos Energetics Eurofit Family Fitex Freemotion Go Elliptical Halley Fitness Hammer Horizon HouseFit Impulse Infiniti Inspire Intensor Intenza IPI Izhimio JW-Sport Kampfer Kraft Fitness Larsen Lexco LifeGear Lifespan LiveStrong Motus Nautilus Neomotion Octane Fitness OptiFit Optima Fitness Panatta Precor Proteus Pulse Fitness Reebok Royal Fitness Schwinn Smooth Fitness Sport Elite Sportop SportsArt Star Trac SteelFlex Stex Stingray Superweigh Svensson Industrial Titanium True Fitness UltraGym Unixfit Vision Fitness WNQ X-Trend Xterra Zipro Fitness Самые покупаемые эллиптические тренажеры Эллиптический тренажер товар месяца Велотренажеры Лучшие велотренажеры Велотренажер для похудения Велотренажеры для дома Горизонтальный велотренажёр Полупрофессиональные Профессиональные Магнитные велотренажеры Электромагнитные велотренажеры Winner/Oxygen Kettler Bronze Gym Sole Fitness Svensson Body Labs Torneo Evo Fitness Hasttings Horizon HouseFit NordicTrack ProForm Reebok Schwinn Family Adidas Aeon Fitness AeroFIT Altezani American Motion Fitness Ammity AppleGate Armax Fitness Assault Atemi Atlantic Basic Fitness BH Fitness Biodex Body Craft Body Sculpture Body Solid Body Strong Bremshey Sport Carbon Fitness CardioPower Circle Fitness Clear Fit Cybex Daum Electronic Dender DFС Diadora Diamond Fitness Diamondback DKN Eurofit Expresso Fitness Fitex Fitness House Freemotion Halley Fitness Impulse Infiniti Inspire Intensor Intenza IPI Izhimio JKexer Johnson JW Sport Kraft Fitness Larsen LeMond Lexco LifeGear Lifespan LiveStrong Matrix Monark Motus Nautilus Octane Fitness OptiFit Panatta Power Plate Precor Premier Proteus Proxima Pulse Fitness Spirit Fitness Sport Elite Sportop SportsArt Star Trac Steelflex Stex Superweigh Svensson Industrial Tomahawk Trimmaster True Fitness UltraGym Unixfit Vertex VictoryFit Vision Fitness WNQ X-Trend Xterra Самые покупаемые велотренажеры Велотренажер товар месяца Рейтинг велотренажеров для дома 2018 Батуты для дачи Батут 6ft/183см Батут 8ft/244см Батут 10ft/305см Батут 12ft/366см Батут 14ft/427см Батут 15ft/457см Батут 16ft/488см Большие батуты с сеткой Батуты грузоподъёмностью от 150 кг Hasttings Evo Jump Proxima Swollen Triumph Unix Active Fun Bondy Sport DFC Trampoline Fitness BERG i-JUMP Optifit Springfree Sundays Armax Fitness Baby-Grad Bellicon Clear Fit Diamond Fitness Domyos Eclipse Ecos Exit toys Family Funfit Funny Sharky Hegen Hero HouseFit JUMPY Larsen Moove&Fun NeoSport Optima Fitness Oxygen Perfetto Sport Sport Elite Sportspower Tramps Yarton Самые покупаемые батуты для дачи Детские городки Детские игровые комплексы Детские игровые площадки Babygarden Backyard Adventures Big Backyard Cedar Summit DFC Igragrad Jungle Gym KidsCrookedHouse MoyDvor New Sunrise Perfetto sport Play Nation Playgarden Profigym Rainbow Play Systems Selwood Products Solowave Design Superior Play Systems Вивана Выше Всех Детские игровые системы Карусель КБТ Техник Мадрид Мир детских площадок ПикНик Росси Самсон Чудо Палермо Силовые тренажеры Мультистанции Adidas Atemi Atlantic Body Craft Body Sculpture Body Solid Bowflex Bronze Gym Brumer Champion Cybex DFC Diadora Diamond Fitness Force USA Gym80 Halley Home Gym Hasttings Hoist HouseFit Impact Impulse Inotec Inspire Interatletik Dream Gym IPI JK Exer Johnson Kettler Larsen Life Gear Marcy Matrix NordicTrack Optifit Oxygen Fitness Paramount Powertec Precor Profigym Protrain Realleader Rebel Smith Fitness Spirit Fitness Sport Art Fitness Sport Elite Star Trac Teca Torneo UFC V-Sport Vasil Vectra Vision Fitness Weider WNQ Грузоблочные тренажеры BH Fitness Body Craft Body Sculpture Body Solid Bronze Gym Cybex DFC DK-Sport FitPlus GYM 80 Hasttings HOIST Impact Impulse Inotec Inspire Interatletik Dream Gym Interatletik Gym IPI Iron King Matrix MB Barbell NRG Line Oxygen Precor ProfiGym Protrain Pulse Fitness Smith Strength Spirit Fitness Sport Elite Sport House Sports Art Star Trac Steel Flex Stingray Svensson Industrial UFC UltraGym V-Sport Vasil Vectra X-Line Тренажеры на свободных весах Body Craft Body Sculpture Body Solid Bronze Gym DFC DK-sport Force USA Grifon Grome Fitness Hasttings Impact Impulse Inotec Interatletik Dream Gym Interatletik Gym Interatletik Sway Iron King Marbo Sport Marcy Matrix NRG Line Powertec Profigym Protrain Rubicon Steel Flex Torneo UltraGym Weider X-Line Машины Смита Body Craft Body Solid Bronze Gym DFC DK-Sport Force USA Hasttings Hoist Inspire Interatletik Sway Iron King Marbo Sport Marcy Matrix Powertec Profigym Protrain Rebel Smith Strength Spirit Fitness Steel Flex Скамьи и стойки Гиперэкстензии и римские стулья (для спины) AeroFIT Body Craft Body Solid Bronze Gym DFC Grifon Hardman Hoist Interatletik Dream Gym Interatletik Gym Iron King Johnson Kettler Marbo Sport Marcy Matrix MB Barbell NRG Line Oxygen Powertec ProfiGym Protrain Rebel Skif Smith Fitness Spirit Fitness Steel Flex Svensson Industrial Winner/Oxygen X-Line Инверсионные столы Body Sculpture DFC DKN Kettler Optifit Proxima Takasima Winner/Oxygen Z-UP Пресс, брусья, турники Adidas AeroFIT Body Solid Bronze Gym DFC DK-sport Grifon Hardman Hoist Interatletik Dream Gym Interatletik Gym Iron King Marbo Sport Marcy Matrix MB Barbell NRG Line Powertec Precor ProfiGym Protrain Rebel Smith Strength Spirit Fitness Sport Elite Steel Flex Svensson Industrial UltraGym Utility Gym VictoryFit Weider Winner/Oxygen X-Line Скамьи для жима Adidas AeroFIT Body Craft Body Solid Bronze Gym Bruce Lee Signature Carbon DFC DK-sport Grifon Hardman Hasttings Hoist HouseFit ICON Health & Fitness Interatletik Dream Gym Interatletik Gym Iron King Johnson Kettler Life Gear Marbo Marcy Matrix MB Barbell NRG Line Oxygen Powertec Precor ProfiGym Skif Spirit Fitness Sport Elite Sports Art Fitness Steel Flex Svensson Industrial Winner/Oxygen X-Line Скамьи для пресса AB Pump Adidas AeroFIT Body Craft Body Solid Bronze Gym DFC DK-sport DKN Grifon GYM 80 Hardman Hoist Interatletik Dream Gym Interatletik Gym Iron King Johnson Kettler Life Gear Marbo Marcy Matrix MB Barbell NRG Line Optifit Oxygen Protrain Rebel Spirit Fitness Sport Elite Steel Flex Svensson Industrial Winner/Oxygen X-Line Скамьи силовые Adidas AeroFIT Body Craft Body Solid Bronze Gym Bruce Lee Signature Carbon DFC Grifon Hardman Hasttings Hoist ICON Health & Fitness Inspire Interatletik Dream Gym Interatletik Gym Iron King Johnson Kettler Kettler Marbo Marcy Matrix MB Barbell NRG Line Oxygen Powertec ProfiGym Protrain Rebel Smith Strength Spirit Fitness Steel Flex Svensson Industrial Takasima VictoryFit Weider Winner/Oxygen X-Line Скамьи Скотта AeroFIT Body Solid Bronze Gym DFC Grifon GYM 80 Hardman Hoist Interatletik Dream Gym Interatletik Gym Iron King Johnson Marbo Sport Matrix MB Barbell MUST NRG Line Precor ProfiGym Spirit Fitness Sports Art Fitness Steel Flex Svensson Industrial Teca X-Line Стойки для гантелей, грифов и дисков Bronze Gym DK-sport Grifon Marbo Sport Skif Стойки для жимов и приседов Adidas AeroFIT Body Craft Body Solid Bronze Gym Carbon DFC Grifon GYM 80 Hardman Hoist HouseFit Interatletik Dream Gym Interatletik Gym Iron King Marcy Matrix MB Barbell NRG Line Powertec Precor ProfiGym Protrain Rebel Rubicon Skif Spirit Fitness Svensson Industrial UltraGym Winner/Oxygen X-Line DK-sport Гантели Adidas Atlantic Body Solid Bowflex Bronze Gym DK-Sport DKN Technology MB Barbell Optima Fitness PowerBlock ProfiGym Reebok Трезвый город Proxima Original Fitness Matrix Грифы и штанги DFC Matrix Oxygen ProfiGym Грифы с посадочным диаметром 25 мм MB Barbell Грифы с посадочным диаметром 30 мм DFC MB Barbell Грифы с посадочным диаметром 50 мм AeroFIT DFC MB Barbell Штанги Body Solid MB Barbell Диски для штанг и гантелей Диски с посадочным диаметром 26 мм MB Barbell Диски с посадочным диаметром 31 мм MB Barbell Диски с посадочным диаметром 51 мм DFC MB Barbell Гребные тренажеры Aerofit Altezani American Motion Fitness Ammity Applegate Body Craft Bremshey Bronze Gym Carbon Fitness CardioPower Clear Fit Concept Dender DFC Energetics Hasttings Horizon Infiniti Johnson Kettler Lifespan Matrix NordicTrack Octane Fitness ProForm Proxima Sole Fitness Spirit Fitness Sportop Torneo UltraGym VictoryFit Winner/Oxygen X-Trend Xterra Housefit Степперы Aerofit DFC Horizon Jacobs Ladder Kettler Matrix Precor Spirit Fitness Sportop SportsArt UltraGym VictoryFit Xterra Настольный теннис Всепогодные теннисные столы Adidas Cornilleau DFC Donic Giant Joola Kettler Scholle Sponeta Start Line Stiga Sunflex Tornado Unixline Теннисные столы для помещений DFC Donic Giant Scholle Sponeta Start Line

Что такое эллиптический тренажер | Блог мамы-врача

Содержание:

1. Составляющие эллиптического тренажера
2. Разновидности эллиптических тренажеров
3. Достоинства эллиптического тренажера
4. Подготовка к занятиям на эллиптическом тренажере
5. Противопоказания для занятий на эллиптическом тренажере

В эллиптическом тренажере совмещается степпер, беговая дорожка и велотренажер.  Что такое эллиптический тренажер? Этот агрегат представляет собой многофункциональное устройство. Эллиптический тренажер относится к группе кардио- или аэробных тренажеров, в связи с чем при проведении регулярных тренировок можно добиться похудения, укрепления организма, а также повышения аэробной способности организма.

Составляющие эллиптического тренажера

Составляющими эллиптического тренажера являются:

• специальные программы тренировок (к примеру, программы, направленные на укрепление сердца, дыхательной и вегето-сосудистой системы, сбрасывание веса), которые рассчитаны на различный уровень подготовки и подбираются, исходя из нашего желания;
• встроенный компьютер, монитор которого отображает такие параметры, как время, дистанцию, пульс, потраченные калории, скорость и др., с помощью которых возможно ведение точного контроля над нагрузкой;
• режимы ходьбы и бега, подбор которых осуществляется с учетом наших возможностей.

В эллиптических тренажерах движение педалей осуществляется по эллипсу, чем до минимума уменьшается нагрузка на коленные и голеностопные суставы. Нагрузка перенесена на мышцы ног, бедер, ягодиц, рук, спины, плеч и груди. Чтобы тренировать более широкую группу мышц, эллиптические тренажеры предусматривают выполнение движений не только вперед, но и назад.

Разновидности эллиптических тренажеров

Эллиптические тренажеры по технологическому исполнению подразделяются на механические, электронные и магнитные.

Работа механического тренажера осуществляется за счет физических усилий человека. Нагрузка регулируется самим тренирующимся.

У электронного эллиптического тренажера с электронной системой нагрузки есть возможность программирования и изменения нагрузки, исходя из заложенных параметров, которые наиболее подходят для Вас.

Магнитный эллиптический тренажер имеет магнитную систему нагрузки. Для него характерно плавное изменение нагрузки и торможение без рывков.

Эллиптические тренажеры отличаются хорошим дизайном и компактны по своей конструкции.

Достоинства эллиптического тренажера

К достоинствам эллиптического тренажера, в первую очередь, следует отнести то, что ходьба по эллиптической траектории с синхронизацией движения всех частей тела является самой эффективной формой тренировки для мышц ног, бедер, ягодиц, рук, спины, плеч и груди, которые являются основными.

Благодаря эллиптической амплитуде движений педалей до минимума снижается нагрузка на коленные и голеностопные суставы. Нежелательная нагрузка предотвращается за счет нахождения ноги в полусогнутом состоянии.

За счет возможности выполнения движений вперед и назад хорошо прорабатываются группы мышц, не «охваченные» другими кардиотренажерами.

Подготовка к занятиям на эллиптическом тренажере

Занятие на любом кардиотренажере представляет собой довольно сильную физическую нагрузку. Даже если Вы считаете себя абсолютно здоровым человеком, во время занятий следует внимательно прислушиваться к себе. Любое внезапное ухудшение самочувствия в виде возникновения боли в области сердца или за грудиной, появления чувства нехватки воздуха, сильной одышки, головокружения, тошноты, слабости, головной боли означает, что тренировка должна быть прекращена. Если у Вас была диагностирована гипертоническая болезнь с частыми кризами, то подготовка к занятиям на эллиптическом тренажере включает в себя консультацию с врачом.

Противопоказания для занятий на эллиптическом тренажере

Противопоказаниями для занятий на эллиптическом тренажере являются:

• наличие тяжелой степени сердечно-сосудистой недостаточности, сопровождающейся приступами сердечной астмы, отеками;
• наличие тромбофлебита;
• диагностирование тахикардии;
• возникновение частых приступов стенокардии;
• наличие тяжелых форм сахарного диабета;
• диагностирование онкологических заболеваний, для которых требуется неотложное лечение;
• развитие любого инфекционного заболевания.

Эллипс. Формулы, признаки и свойства эллипсa

F₁ и F₂ — фокусы эллипсa

Оси эллипсa.

А₁А₂ = 2a — большая ось эллипса (проходит через фокусы эллипса)

B₁B₂ = 2b — малая ось эллипса (перпендикулярна большей оси эллипса и проходит через ее центр)

a — большая полуось эллипса

b — малая полуось эллипса

O — центр эллипса (точка пересечения большей и малой осей эллипса)

Вершины эллипсa A₁, A₂, B₁, B₂ — точки пересечения эллипсa с малой и большой осями эллипсa

Диаметр эллипсa — отрезок, соединяющий две точки эллипса и проходящий через его центр.

Фокальное расстояние c — половина длины отрезка, соединяющего фокусы эллипсa.

Эксцентриситет эллипсa e характеризует его растяженность и определяется отношением фокального расстояния c к большой полуоси a. Для эллипсa эксцентриситет всегда будет 0 e e = 0, для параболы e = 1, для гиперболы e > 1.

Фокальные радиусы эллипсa r₁, r₂ — расстояния от точки на эллипсе до фокусов.

Радиус эллипсa R — отрезок, соединяющий центр эллипсa О с точкой на эллипсе.

R =	ab	=	b
	√a2sin2φ + b2cos2φ		√1 — e2cos2φ

где e — эксцентриситет эллипсa, φ — угол между радиусом и большой осью A₁A₂. Фокальный параметр эллипсa p — отрезок который выходит из фокуса эллипсa и перпендикулярный большой полуоси: Коэффициент сжатия эллипсa (эллиптичность) k — отношение длины малой полуоси к большой полуоси. Так как малая полуось эллипсa всегда меньше большей, то k k = 1:

k = √1 — e²

где e — эксцентриситет. Сжатие эллипсa (1 — k ) — величина, которая равная разности между единицей и эллиптичностью:

Директрисы эллипсa — две прямые перпендикулярные фокальной оси эллипса, и пересекающие ее на расстоянии ae от центра эллипса. Расстояние от фокуса до директрисы равно pe.

Эллипсоид — это… Что такое эллипсоид?

Граймс медленно отвернулся и через визир стал рассматривать опаловую сферу, которая могла быть лишь планетой Кинсольвинг, и дальний эллипсоид слабо различимой Галактики.

По нашим сведениям, на начальной стадии механоонтогенеза объект представлял собой эллипсоид вращения размером примерно 25 х 15 х 10 сантиметров и массой порядка десяти килограммов, от нижней поверхности которого отходил черный шнур диаметром в 10-15 миллиметров.

Гуманоид непарнокопытный пластинчатый Уа-Уах-Эва со второй планеты быстролетящей звезды Барнарда… Бересклет живородящий мигрирующий, образчик расы разумных растений на планете у Антареса… Сернокислотник двоякодышаший Вжик-Вжик XVII (на снимке — дельфиноподобное существо опирается хвостом о туманную поверхность моря) со сплошь покрытой кислотным океаном невидимой у нас карликовой звезды в Плеядах… Астролет кристаллический № 11250 класса “твердь— космос” (блестящий эллипсоид вращения с усиками антенн впереди, лопастями фотобатарей по бокам и чашей фотонного отражателя сзади), не нуждающийся в планетах житель трехзвездной системы Сириус-А, В, С… Листая паспорт, служитель еще раз осознал, как редки во Вселенной человекоподобные: верблюжья харя непарнокопытного пластинчатого барнардинца казалась почти родной.

Когда контрольная система подмигнула зеленой лампочкой, он нажал на кнопку и выпустил раскаленный голубовато-зеленый эллипсоид вглубь солнца Кариды.

Продолжив дело и ожидая результатов, Джек достал из шкатулки небольшой вибромолот и стал осторожно оббивать камень вокруг чужеродного включения, пока в кремне не появилась трещина и не открыла гладкий желтый эллипсоид в полдюйма длиной.

Подняв эллипсоид, Джек потер его между ладонями рук, одетых в перчатки. — Кажется, это не то. — Он потер сильнее, затем подержал камешек над горячей чашечкой своей трубки.

Из-за барьера, разом прорвав ткань мироздания, вывалился межзвездный корабль: не совсем правильный объемный эллипсоид, плоский и обтекаемый, будто морской моллюск с плотно сомкнутыми створками.

И вдруг ваши приборы начинают убеждать вас в том, что узел, к которому вы только что привязались, перемещается относительно прочих узлов, и те, в свою очередь, тоже сорвались со своих мест; СП, которое до сих пор представлялось вам, по определению, как бы сферой бесконечно большого радиуса, начинает менять конфигурацию, превращаясь в нечто веретенообразное, в этакий огурец, силовые линии соответственно деформируются, и насаженные на эту решётку узлы, естественно, тоже – и к тому же вся эта система, превратившись в эллипсоид, начинает вращаться вокруг длинной оси, так что возникает та ещё карусель.

Ящик представляет собой гладкостенный эллипсоид, шесть на три метра в поперечнике, который я при всем желании не покину до самой смерти.

Эллипсоид

— Викисловарь

английский [править]

Этимология [править]

эллипс + -оид

Существительное [править]

эллипсоид ( множественное число эллипсоидов )

1. (математика, геометрия) Поверхность, все поперечные сечения которой эллиптические или круглые (включая сферу), которая обобщает эллипс и в декартовых координатах ( x, y, z ), является квадрикой с уравнением x ² / a ² + y ² / b ² + z ² / c ² = 0.
   • 2002 , Джон Майкл Холлас, Основы атомной и молекулярной спектроскопии , стр. 133,

     Поляризуемость можно представить как трехмерный эллипсоид с центром в центре молекулы, как показано на рисунке 10.4.

   • 2004 , Альфред Лейк, GPS-спутниковая съемка , 3-е издание, стр. 367,

     Поскольку только эллипсоидов вращения были приняты в практической геодезии и геодезии, а трехосные эллипсоиды были ограничены теоретическими исследованиями, мы будем использовать термин эллипсоид для краткости, чтобы обозначать эллипсоид вращения.

   • 2010 , Ян Ван Сикл, Основные координаты ГИС , 2-е издание, стр. 73,

     Как упоминалось ранее, современные геодезические системы координат опираются на поверхности геоцентрических эллипсоидов для аппроксимации поверхности Земли.

2. (география) Такая поверхность используется как модель формы земли.

   Здесь геоид находится на тридцать метров ниже эллипсоида .

Примечания по использованию [править]

Общий случай, с разными полуосями a, b и c , представляет собой трехосный эллипсоид (реже — разносторонний эллипсоид ).Если два одинаковые, скажем, b = c , результатом будет эллипсоид вращения , который может быть сжатым (если a ) или вытянутым ( a> b ). Вырожденный случай a = b = c — сфера. Эллипсоид вращения также называют сфероидом .

Гиперонимы [править]

Производные термины [править]

Связанные термины [править]

Переводы [править]

Поверхность, все поперечные сечения которой эллиптические или круглые

См. Также [править]

Прилагательное [править]

эллипсоид ( сравнительный больше эллипсоида , превосходная степень наибольший эллипсоид )

1. В форме эллипса; эллиптический.
2. (математика) Имеет отношение к эллипсу; эллиптический.
3. (ботаника) Имеет трехмерную форму эллипса, вращающегося вокруг своей длинной оси.

Связанные термины [править]

Переводы [править]

или относящиеся к эллипсу

, имеющий форму эллипса, повернутого вокруг своей длинной оси

См. Также [править]

---

Шведский [править]

Существительное [править]

эллипсоид c

1. (математика) эллипсоид

Cклонение [править]

Объем эллипсоида — веб-формулы

Точно так же, как круг превращается в твердую сферу, эллипс может стать твердым «эллипсоидом».
Есть два особых типа эллипсоидов.

Предположим, у нас есть сфера, которую мы растягиваем, чтобы сделать ее более длинной и тонкой (немного похожей на мяч для регби или дыню). В таком случае он называется вытянутым эллипсоидом. Если мы разрежем его пополам, чтобы получить круг, то объем равен площади круга, умноженной на 2/3 большой оси. (Большая ось — это максимальная длина от одного конца до другого.)

Однако, если у нас есть сфера и раздавить ее, чтобы получилась более короткая и толстая форма (что-то вроде бургера).В таком случае он называется сплюснутым эллипсоидом. Если мы разрежем его посередине, чтобы получить круг, то объем равен площади круга, умноженной на 2/3 малой оси.

Пример 1: Эллипсоид, радиус и оси которого a = 21 см, b = 15 см и c = 2 см соответственно. Определите объем для данного эллипсоида.
Раствор:
Объем эллипсоида:
V = 4/3 × π × a × b × c
V = 4/3 × π × 21 × 15 × 2
V = 2640 см ³

Пример 2: Эллипсоид с радиусами r ₁ = 9 см, r ₂ = 6 см и r ₃ = 3 см. Найдите объем эллипсоида.
Решение :
Радиус (r ₁ ) = 9 см
Радиус (r ₂ ) = 6 см
Радиус (r ₃ ) = 3 см
Объем эллипсоида:
V = 4/3 × π × r ₁ × r ₂ × r ₃
= 4/3 × π × 9 × 6 × 3
V = 678.24 см ³
Объем эллипсоида (V) = 678,24 кубических единиц

Пример 3: Эллипсоид с радиусами r ₁ = 12 см, r ₂ = 10 см и r ₃ = 9 см. Найдите объем эллипсоида.
Решение :
Радиус (r ₁ ) = 12 см
Радиус (r ₂ ) = 10 см
Радиус (r ₃ ) = 9 см
Объем эллипсоида:
V = 4/3 × π × r ₁ × r ₂ × r ₃
= 4/3 × π × 12 × 10 × 9
V = 4521. 6 см ³

Онлайн-калькулятор объема, щелкните ссылку, чтобы открыть новое окно.

% PDF-1.2 7 0 obj > endobj 10 0 obj > endobj 13 0 объект > endobj 15 0 объект > поток 0,00 г 0,00 G BT / F1 20,66 Tf 44,6 -267,69 TD [(Impro) 25 (v) 26 (ed) -307 (Collision) -309 (обнаружение) -308 (и) -308 (Resp) -26 (onse) ] TJ / F2 14,34 Tf 133,15 -53,03 TD [(Kasp) -26 (er) -317 (F) 78 (auerb) 27 (y)] TJ -11,47 -17,93 TD [(k) 53 (asp) -26 ( er @ p) -26 (ero) 25 (xide.dk)] TJ -13,81 -17,92 TD [(h) 26 (ttp: // www.p) -26 (ero) 26 (xide.dk)] TJ 28,35 -33,81 TD [(25-е) -317 (июль) -317 (2003)] TJ ET конечный поток endobj 17 0 объект > endobj 6 0 obj > endobj 22 0 объект > endobj 25 0 объект > endobj 28 0 объект > endobj 31 0 объект > endobj 32 0 объект > endobj 35 0 объект > endobj 36 0 объект > поток 0,00 г 0,00 G BT / F3 24,78 Tf 30,88 -148,4 TD [(Con) 29 (десять) 29 (ts)] TJ / F4 11,95 Tf 0 -65,98 TD [(1) -905 (In) 30 (tro) -30 (воздуховод) -24280 (3)] TJ / F5 11,95 Tf 17,55 -14,45 TD [(1,1) -1000 (предыдущий) -326 (w) 26 (ork) -481 (. ) — 500 (.) — 500 (. ) -500 (.) -500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (. ) -500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (. ) -500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 1384 (3)] TJ 0 -14,44 TD [(1,2) -1000 (The) -326 (алгоритм) -420 (.) — 500 (. ) -500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (. ) -500 (.) — 499 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) ) -500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 1384 (3)] TJ 0 -14,44 TD [(1,3) -1000 (Ho) 26 (w) -325 (to) -326 (читать) -327 (this) -326 (do) -27 (cumen) 26 (t) -269 (.) -500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (. ) -500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 1384 (4 )] TJ / F4 11,95 Tf -17,55 -26,14 TD [(2) -905 (V) 93 (ector) -374 (пробелы) -23795 (5)] TJ / F5 11,95 Tf 17,55 -14,44 TD [(2,1) — 1000 (De \ 034nition) -326 (of) -326 (a) -327 (v) 26 (ector) -325 (пробел) -257 (. ) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) -500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) -500 (.) — 500 (.) — 499 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 1384 (5)] TJ 0 -14,44 TD [(2,2) -1000 (Кейс) -326 (этюд :)] TJ / F6 11.95 Tf 91,71 0 TD [(R)] TJ / F7 7,97 Tf 8,91 -1,8 TD [(3)] TJ / F5 11,95 Tf 13,98 1,8 TD [(.) — 499 (.) — 500 (.) — 500 (. ) -500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (. ) -500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (. ) -500 (.) — 500 (.) — 1384 (6)] TJ -114,6 -14,45 TD [(2,3) -1000 (Co) -27 (ординаты) -648 (.) — 500 (.) — 500 ( .) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 ( .) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 ( .) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) -500 (.) — 1384 (7)] TJ 0 -14,44 TD [(2,4) -1000 (эллипсоид) -326 (пробел) -1004 (. ) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) ) -500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (. ) -500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (. ) -500 (.) — 500 (.) — 1384 (7)] TJ / F4 11,95 Tf -17,55 -26,14 TD [(3) -905 (Столкновение) -375 (обнаружение) -21314 (9)] TJ / F5 11,95 Tf 17,55 -14,44 TD [(3,1) -1000 (Ov) 26 (эрвью) -251 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 499 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) -500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (. ) -500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 1384 (9)] TJ 0 -14,44 TD [(3,2) -1000 (Chec) 26 (король) -325 (a) -326 (одиночный) -327 (треугольник) -922 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) -500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (. ) -500 (.) — 895 (11)] TJ 0 -14,45 TD [(3,3) -1000 (столкновение) -326 (с) -326 (с) -327 (внутри) -326 (из) -326 (а) -327 (треугольник) -523 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) -500 (.) — 500 (.) — 500 (.) -500 (.) — 500 (.) — 895 (13)] TJ 0 -14,44 TD [(3,4) -1000 (The) -326 (sw) 26 (eep) -325 (тест) -936 (.) -500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) -500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) -500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 894 (14)] TJ 0 -14,44 TD [(3,5) -1000 (In) -326 (сводка) -622 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 499 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) -500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) -500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.)) -895 (16)] TJ / F4 11,95 Tf -17,55 -26,14 TD [(4) -905 (Столкновение) -375 (соответственно) -31 (onse) -21061 (18)] TJ / F5 11,95 Tf 17,55 -14,44 TD [(4. 1) -1000 (The) -326 (скольжение) -326 (самолет) -707 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) -500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) -500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 895 (18) ] TJ 0 -14,44 TD [(4,2) -1000 (скольжение) -326 (в) -326 (сфера) -436 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) -499 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) -500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (. ) -895 (20)] TJ 0 -14,45 TD [(4,3) -1000 (Гра) 26 (вит) 28 (y) -979 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 894 (22)] TJ 0 -14,44 TD [(4,4) -1000 (In) — 326 (сводка) -622 (. ) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 499 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) -500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (.) — 500 (. ) -500 (.) — 895 (23)] TJ / F4 11,95 Tf -17,55 -26,14 TD [(5) -905 (Выводы) -24083 (25)] TJ 0 -26,14 TD [(A) -618 (Расчет ) -375 (the) -375 (нормальный) -375 (to) -375 (a) -375 (обычный) -375 (поверхностный) -8590 (27)] TJ 0 -26,14 TD [(B) -668 (The ) -375 (самолет) -375 (класс) -22368 (32)] TJ 0 -26,15 TD [(C) -655 (Utilit) 30 (y) -374 (функции) -21819 (34)] TJ / F5 11,95 Tf 191,29 -47,83 TD [(1)] TJ ET конечный поток endobj 37 0 объект > endobj 19 0 объект > endobj 40 0 obj > поток 0.00 г 0,00 G BT / F4 11,95 Tf 30,88 -68,72 TD [(D) -605 (решение) -375 (квадратичное) -375 (уравнения) -16260 (35)] TJ 0 -26,14 TD [(E) -729 ( Co) -32 (de) -374 (для) -375 (столкновение) -375 (шаг) -18911 (37)] TJ 0 -26,15 TD [(F) -761 (Co) -31 (de) -375 ( для) -375 (соответственно) -31 (onse) -375 (шаг) -18637 (44)] TJ / F5 11,95 Tf 191,29 -555,27 TD [(2)] TJ ET конечный поток endobj 41 0 объект > endobj 39 0 объект > endobj 46 0 объект > endobj 49 0 объект > endobj 50 0 объект > поток 0,00 г 0,00 G BT / F3 24,78 Tf 30,88 -148,4 TD [(Chapter) -348 (1)] TJ 0 -49,8 TD [(In) 29 (tro) -28 (duction)] TJ / F8 17. 21 Tf 0 -61,75 TD [(1,1) -1078 (предыдущий) -360 (w) 29 (ork)] TJ / F5 11,95 Tf 0 -26,28 TD [(This) -415 (pap) -27 (er) -416 (описание) -27 (es) -416 (an) -416 (вверх) -27 (датировано) -416 (v) 27 (ersion) -415 (of) -416 (the) -416 (коллизия) -415 ( обнаружение) -416 (и) -416 (повторно -)] TJ 0 -14,44 TD [(sp) -26 (onse) -314 (алгоритм) -314 (I) -313 (\ 034rst) -314 (presen) 26 (ted) -312 (in) -314 ([F) 81 (au00].) — 430 (Some) -314 (of) -313 (the) -314 (material) -313 (has) -314 (b) -27 (een)] TJ 0 -14,44 TD [(скопировано) -293 (напрямую) -294 (от) -294 (это) -295 (статья) -294 (но) -294 (the) -294 (en) 26 (шина) -293 (секция) -294 (вкл.) -294 (в) -294 (столкновение) -294 (обнаружение -)] TJ 0-14.44 TD [(ция) -341 (шаг) -342 (имеет) -341 (b) -27 (een) -342 (переписано) -342 (используя) -341 (a) -342 (sw) 26 (ept) -341 (сфера) -341 (tec) 26 (hnique) -341 (as) -341 (опис.) -28 (ed) -341 (in)] TJ 0 -14,44 TD [([Rou03].) — 501 ( Это) -349 (pap) -27 (er) -348 (имеет) -349 (b) -27 (een) -349 (письменный) -348 (in) -349 (a) -349 (w) 27 (a ) 27 (у) -348 (так) -348 (оно) -349 (не должно) -349 (б) -27 (д) -348 (обязательно)] TJ 0 -14,45 TD [(к) -388 ( читать) -388 (to) -389 (an) 26 (y) -388 (of) -388 (the) -389 (указано) -389 (pap) -27 (ers) -388 (but) -389 (если ) -389 (что-то) -388 (кажется) -389 (неясно) — 404 (in)] TJ 0-14. 44 TD [(особый) -450 (относительно) -450 (тот) -451 (sw) 27 (ept) -450 (сфера) -450 (tec) 26 (hnique,) — 481 (затем) -450 (I) -450 (поощрять) -451 (y) 26 (ou) -449 (to)] TJ 0 -14,44 TD [(читать) -303 (Rou) 26 (w) 27 (\ 351s) -303 (pap) -28 (er) -304 (as) -304 (it) -305 (migh) 27 (t) -304 (go) -304 (in) 26 (to) -303 (подробнее) -305 (подробности) -304 (on ) -304 (определенный) -305 (asp) -27 (ects) -304 (of) -305 (the)] TJ 0 -14,44 TD [(алгоритм.) — 420 (The) -284 (соответственно) -27 ( onse) -284 (step) -284 (is) -285 (still) -284 (based) -284 (частично) -284 (on) -284 (the) -284 (idea) -284 (\ 034rst) -284 (presen) 26 (ted)] TJ 0-14.44 TD [(дюйм) -325 ([Net00]) — 327 (и) -326 (частично) -326 (от) -327 (м) 27 (y) -326 (o) 26 (wn) -325 (w ) 26 (ork.)] TJ 17,55 -14,45 TD [(This) -614 (time) -615 (a) -615 (demo) -615 (with) -615 (full) -615 (source) -615 (will ) -615 (ev) 26 (en) 27 (фактически) -614 (b) -27 (e) -615 (a) 26 (v) 55 (больной) -614 (at :)] TJ -17,55 -14,44 TD [(h) 27 (ttp: //www. dr-co) -26 (de.com.) -415 (The) -266 (demo) -266 (will) -265 (в основном) -266 (b) — 27 (e) -266 (выполнено) -266 (b) 26 (y) -264 (a) -266 (друг) -266 (из) -266 (мой,)] TJ 0 -14,44 TD [(Мэтт) — 330 (Остлунд) -332 (также) -331 (kno) 26 (wn) -330 (b) 26 (y) -330 (некоторые) -331 (as) -331 (\ 020Rhone) -332 (Ranger \ 021, ) -332 (с) -331 (вероятно) -331 (просто) -332 (а)] ТДЖ 0 -14.44 TD [(маленький) -314 (дюйм) 26 (терв) 27 (en) 27 (тион) -314 (б) 26 (y) -314 (м) 26 (сам) -314 (дюйм) -316 ( ) -315 (ядро) -315 (столкновение) -315 (co) -28 (de.) — 431 (So) -315 (k) 26 (eep) -314 (an) -316 (ey) 27 (e) -315 (on) -315 (his)] TJ 0 -14.44 TD [(site) -325 (as) -327 (w) 26 (ell.) — 434 (A)] TJ / F9 11.95 Tf 76.82 0 TD [ (огромный)] TJ / F5 11.95 Tf 27.8 0 TD [(спасибо) -326 (to) -326 (him) -326 (for) -326 (take) -327 (on) -326 (this) -326 (task !)] TJ / F8 17,21 Tf -104,62 -39,92 TD [(1,2) -1078 (The) -360 (алгоритм)] TJ / F5 11,95 Tf 0 -26,28 TD [(The) -465 (алгоритм) -466 (присутствует ) 26 (ted) -465 (in) -465 (this) -466 (pap) -27 (er) -466 (обрабатывает) -466 (коллизия) -466 (обнаружение) -466 (против)] TJ 0-14 . 44 TD [(произвольно) -450 (сетки) -451 (сохранено) -451 (as) -451 (a) -451 (так называемое) -451 (p) -27 (олигон) -451 (суп.) — 809 (Когда) -451 (a) -451 (коллизия) -451 (is)] TJ 0 -14,44 TD [(обнаружено) -338 (the) -338 (алгоритм) -339 (будет) -338 (слайд) — 339 (the) -338 (mo) 26 (ving) -338 (en) 27 (tit) 27 (y) -338 (вдоль) -338 (the) -339 (препятствия) -338 (as) -339 (it )] TJ 0 -14,44 TD [(is) -335 (t) 27 (типично) -335 (замечено) -335 (in) -336 (3d) -335 (компьютер) -336 (игры.) — 462 (The ) -336 (mo) 26 (ving) -334 (en) 26 (tit) 27 (y) -334 (is) -336 (corre) 26 (ximated)] TJ 0 -14,44 TD [(с) -356 ( an) -357 (эллипсоид) -357 (whic) 27 (h) -356 (giv) 26 (es) -356 (a) -357 (довольно) -356 (tigh) 26 (t) -356 (\ 034t) -357 (для) -357 (большая часть) -357 (h) 27 (уманоид) -356 (или) -357 (животное)] TJ 0-14.44 TD [(shap) -26 (es.) — 807 (Ellipsoids) -451 (ha) 26 (v) 28 (e) -450 (a) -450 (v) 26 (ery) -449 (\ 020friendly \ 021) -532 (shap) -27 (e) -451 (that) -450 (allo) 26 (ws) -449 (them) -450 (to) -451 (слайд)] TJ 0 -14,45 TD [(smo ) -26 (др. ) -412 (из) -412 (в) -412 (препятствия) -412 (они) -413 (сталкиваются) -412 (против) -412 (в) 27 (ч) -411 (есть) -413 (a) -412 (go) -27 (o) -27 (d) -412 (вещь) -412 (in) -412 (a)] TJ 191.29 -35.02 TD [(3)] TJ ET конечный поток endobj 51 0 объект > endobj 43 0 объект > endobj 56 0 объект > endobj 57 0 объект > поток 0,00 г 0,00 г BT / F5 11,95 Tf 30.88 -68,72 TD [(игра) -297 (где) -299 (the) -298 (pla) 26 (y) 27 (er) -297 (do) -27 (es) -299 (not) -298 (w ) 26 (ан) 27 (т) -297 (к) -298 (получить) -299 (штукатурка) 26 (к) -297 (против) -298 (а) -299 (твердый) -298 (эгде) -298 (in) -299 (the)] TJ 0 -14,44 TD [(средний) -325 (of) -327 (a) -326 (быстро развивающийся) -326 (battle.)] TJ 17,55 -14,45 TD [(This ) -461 (вверх) -27 (датирован) -461 (v) 26 (версия) -460 (из) -461 () -461 (алгоритм) -461 (\ 034xes) -461 (в) -461 (в частности ) -461 (в) -462 (проблема)] TJ -17,55 -14,44 TD [(где) -365 (столкновение) -366 (против) -366 (треугольник) -366 (ребра) -366 (мог) -366 ( причина) -366 (в) -366 (исходный) -366 (алгоритм) -366 (в)] TJ 0 -14. 44 TD [(неудача) -325 (результат) -327 (in) -326 (the) -326 (pla) 26 (y) 27 (er) -325 (b) -27 (eing) -327 (stuc) 26 (k) -325 (или) -326 (падение) -327 (через) -326 (the) -326 (w) 26 (orld) -325 (геометрия) 80 (.)] TJ / F8 17,21 Tf 0 -39,92 TD [(1,3) -1078 (Ho) 29 (w) -359 (to) -359 (read) -360 (this) -360 (do) -30 (cumen) 29 (t)] TJ / F5 11,95 Tf 0 -26.27 TD [(Первый) -342 (из) -343 (все) -342 (let) -343 (me) -343 (sa) 26 (y:) — 467 (это) -343 (stu \ 033) — 342 (есть) -343 (обязательно) -343 (нет) -343 (легко!) — 484 (Будет) -343 (так) 26 (e) -342 (a) -342 (длинный) -343 (время )] TJ 0 -14,45 TD [(к) -368 (понять) -369 (правильно) -369 (и) -369 (вероятно) -369 (сев) 26 (eral) -368 (чтения) -369 (из) -369 (это) -369 (текст.) -563 (So) -368 (giv) 26 (e)] TJ 0 -14,44 TD [(y) 27 (мы сами) -353 (время) -355 (to) -354 (полностью) -355 (понять) — 354 (что) -355 (написано) -354 (in) -355 (a) -354 (section) -355 (b) -27 (efore) -354 (mo) 26 (ving)] TJ 0 -14,44 TD [ (on) -385 (to) -386 (the) -385 (next. ) — 614 (T) 81 (o) -385 (полностью) -386 (понять) -385 (the) -386 (теория) -386 (присутствует) 26 (ted) -384 (y) 26 (ou) -385 (will) -386 (need) -385 (to)] TJ 0 -14,44 TD [(ha) 27 (v) 27 (e) — 400 (а) -402 (справедливо) -401 (идти) -27 (о) -27 (г) -402 (понимание) -401 (из) -402 (линейный) -401 (алгебра) -401 (-) — 402 (т.е.) -660 (v) 26 (экторы,) — 419 (матрицы,)] TJ 0-14.44 TD [(v) 27 (ector) -432 (пробелы) -434 (и) -433 (the) -433 (lik) 26 (e.) — 755 (This) -434 (pap) -27 (er) -433 (is) -434 (split) -433 (up) -433 (in) 26 (to) -433 (t) 27 (w) 27 (o) -433 (ma) -54 (jor) -433 ( частей) -434 (-)] TJ 0 -14,44 TD [(один) -441 (вкл.) -442 (столкновение) -441 (обнаружение) -442 (и) -442 (один) -442 (вкл.) -442 ( столкновение) -441 (соотв.) -27 (onse.) — 782 (нет) 26 (w) -441 (что) -441 (the)] TJ 0 -14,45 TD [(di \ 033erence?)] TJ / F10 11,95 Tf 17,43 -27,39 TD [(\ 262)] TJ / F5 11,95 Tf 11,82 0 TD [(Столкновение) -396 (обнаружение) -396 (сделки) -397 (с) -396 (\ 034nding) -397 (выход) — 396 (будь) -396 (или) -397 (нет) -396 (w) 26 (e’ll) -395 (bump)] TJ 0-14. 44 TD [(in) 26 (to) -330 (что-то) -332 (когда) -332 (w) 27 (e) -331 (mo) 26 (v) 27 (e) -330 (наше) -332 ( эллипсоид) -332 (хотя) -331 (3d) -332 (пробел) -332 (и) -331 (если) -332 (так,)] TJ 0 -14,44 TD [(что) -326 (делать) -326 (w) 26 (e) -325 (попадание) -327 (и) -326 (где?)] TJ / F10 11,95 Tf -11,82 -24,4 TD [(\ 262)] TJ / F5 11,95 Tf 11,82 0 TD [( Столкновение) -292 (соответственно) -27 (onse) -292 (имеет дело) -292 (с) -291 (что) -292 (с) -292 (делать) -292 (когда) -292 (а) -292 ( столкновение)] TJ / F9 11,95 Tf 292,29 0 TD [(do)] TJ / F5 11,95 Tf 16,17 0 TD [(o) -27 (ccur.) — 423 (Do)] TJ -308,46 -14,44 TD [(w) 26 (e) -267 (стоп?) — 416 (Do) -269 (w) 26 (e) -268 (con) 26 (tin) 27 (ue) -268 (mo) 27 (v) 27 (emen) 27 (t) -268 (дюйм) -269 (другой) -269 (направление) -269 (?) — 416 (Что) -268 (делать) -269 (w) 26 (e)] TJ 0-14.44 TD [(делать?) — 426 (The) -300 (коллизия) -301 (соответственно) -27 (onse) -300 (step) -301 (is) -300 (v) 26 (ery) -299 (imp ) -27 (ortan) 26 (t) -299 (для) -301 (the) -300 (o) 26 (v) 27 (erall) -299 (feel) -300 (of)] TJ 0 -14,45 TD [ (y) 26 (наш) -325 (игра. )] TJ -11,7 -27,39 TD [(я) -278 (предполагаю) -278 (тот) -278 (тот) -278 (сетка) -278 (b ) -28 (eing) -278 (c) 27 (hec) 27 (k) 27 (ed) -277 (для) -278 (столкновение) -279 (is) -278 (размещено) -278 (in) -278 (the) -278 (то же самое)] TJ -17,55 -14,44 TD [(пробел) -397 (as) -398 (the) -397 (pla) 26 (y) 27 (er) -397 (-) — 397 ( in) -398 (w) 26 (orld) -397 (пробел) — 649 (In) -398 (другое) -397 (w) 26 (ords) -397 (I) -397 (предположить) -398 (that) -398 (eac) 26 (h)] TJ 0-14.44 TD [(сетка) -302 (имеет) -303 (the) -304 (ID) 27 (tit) 27 (y) -302 (матрица) -304 (as) -303 (its) -303 (w) 26 (orld) -302 (matrix.) — 427 (If) -303 (this) -304 (is) -303 (not) -303 (the) -303 (case) -303 (then)] TJ 0 -14.44 TD [(это) -292 (легко) -292 (к) -293 (применить) -292 () -293 (фактическое) -292 (w) 26 (orld) -291 (матрица) -293 (к) -292 (the) -293 (v) 26 (ertices) -291 (b) -27 (efore) -293 (w) 26 (e) -291 (c) 26 (hec) 27 (k) -291 (the)] TJ 0 -14,44 TD [(треугольники) -325 (для) -327 (столкновение.)] TJ 191,29 -173,35 TD [(4)] TJ ET конечный поток endobj 58 0 объект > endobj 53 0 объект > endobj 63 0 объект > endobj 64 0 объект > поток 0. 00 г 0,00 G BT / F3 24,78 Tf 30,88 -148,4 TD [(Глава) -348 (2)] TJ 0 -49,8 TD [(V) 87 (ector) -348 (пробелы)] TJ / F5 11,95 Tf 0 -54,28 TD [(This) -401 (алгоритм) -402 (mak) 26 (es) -401 (hea) 27 (vy) -401 (use) -402 (of) -402 (нестандартный) -402 (v) 26 (эктор) -400 (пробелы) -402 (к) -402 (упростить)] TJ 0 -14,44 TD [(определенные) -454 (расчеты.) -821 (те) -455 (из) -455 (y) 26 (ou) -454 (уже) -455 (знакомо) -455 (с) -455 (the) -455 (de \ 034nition) -455 (of)] TJ 0 -14,45 TD [(v) 27 (ector) -386 (пробелы) -386 (и) -387 (большинство) -387 (имп) -27 (ортан) 26 (tly) -385 (с) -387 (в) 26 (базисное изменение) -386 ( матрицы) -386 (к) -387 (мес.) 26 (v) 27 (д)] TJ 0-14.44 TD [(b) -26 (et) 26 (w) 27 (een) -350 (пробелы) -352 (can) -352 (skip) -351 (большинство) -352 (of) -351 (this) — 352 (c) 27 (глава) -351 (и) -352 (только) -351 (литье) -352 (a) -351 (взгляд) -352 (на) -351 (the)] TJ 0 -14,44 TD [ (раздел) -363 (on) -365 (the) -364 (\ 020ellipsoid) -365 (space \ 021.) — 549 (The) -364 (остаток) -364 (of) -365 (y) 26 (ou ) -363 (чтение) -364 (on) -365 (но) -364 (b) -27 (e) -365 (a) 27 (w) 27 (are) -364 (то)] TJ 0 -14,44 TD [(это) -452 (есть) -453 (только) -453 (a) -453 (v) 26 (ery) -452 (quic) 26 (k) -451 (ускоренный курс) -453 (on) -) — 453 (the) -453 (sub) -55 (ject. ) — 815 (A) -453 (full) -453 (объяснение)] TJ 0-14.44 TD [(w) 27 (ould) -297 (включая) -298 (to) -28 (o) -298 (m) 26 (uc) 27 (h) -297 (math) -298 (and) -298 (is) -299 (b) -27 (ey) 26 (ond) -297 (the) -298 (scop) -27 (e) -298 (of) -299 (this) -298 (pap) -27 ( er) -298 (an) 26 (yw) 27 (a) 27 (y) 82 (.)] TJ / F8 17.21 Tf 0 -39.25 TD [(2.1) -1078 (De \ 034nition) -360 (of) — 359 (a) -360 (v) 29 (ector) -359 (space)] TJ / F5 11.95 Tf 0 -26.28 TD [(Most) -399 (of) -400 (y) 26 (ou) -399 (will ) -401 (нев) 27 (эр) -400 (га) 27 (в) 27 (д) -399 (встреча) 26 (теред) -399 (ан) 26 (у) -399 (прочие) -401 (в ) 27 (ector) -400 (пробелы) -400 (чем) -400 (the)] TJ 0 -14,44 TD [(стандарт) -358 (t) 27 (w) 27 (o) -358 (и) -358 (три) -358 (размерный) -359 (пробелы) -358 (w) 26 (e) -357 (обычно) -359 (думать) -358 (из) -359 (от) -358 (sc) 26 (ho ) -26 (ол)] TJ 0-14.44 TD [(математ.) — 773 (Эти) -439 (являются) -440 (называются)] TJ / F6 11,95 Tf 129,71 0 TD [(R)] TJ / F7 7,97 Tf 8,91 -1,8 TD [(2)] TJ / F5 11,95 Tf 9,98 1,8 TD [(и)] TJ / F6 11,95 Tf 24,1 0 TD [(R)] TJ / F7 7,97 Tf 8,91 -1,8 TD [(3)] TJ / F5 11,95 Tf 9,98 1,8 TD [( и) -438 (являются) -440 (те) -439 (w) 26 (e) -438 (использовать) -439 (in) -440 (a) -439 (\ 020standard \ 021)] TJ -191,59 -14,44 TD [(co) -26 (ордината) -327 (система) -326 (\ (lik) 26 (e) -325 (the) -326 (one) -327 (D3D) -326 (or) -326 (op ) -27 (enGL) -327 (op) -27 (erates) -326 (in \).)] TJ 17,55 -14,45 TD [(As) -278 (it) -279 (повороты) -279 (out) — 279 (w) 26 (e) -278 (может) -279 (легко) -278 (de \ 034ne) -279 (v) 26 (ector) -278 (пробелы) -279 (или) -279 (4,) -288 (5) -279 (или) -279 (ev) 26 (en) -278 (in \ 034nately)] TJ -17.55 -14,44 TD [(человек) 27 (y) -303 (размеры) -303 (b) 26 (y) -303 (листинг) -303 (a) -304 (немного) -303 (правила) -304 (\ (или) -304 (аксиомы \)) — 303 (whic) 26 (h) -303 (ev) 26 (ery) -302 (v) 26 (ector) -303 (пробел)] TJ 0 -14,44 TD [( м) 27 (ust) -325 (далее) 26 (w.)] TJ / F6 11,95 Tf 67,34 0 TD [(R)] TJ / F7 7,97 Tf 8,9 -1,79 TD [(2)] TJ / F5 11,95 Tf 8,63 1,79 TD [(и)] TJ / F6 11,95 Tf 22,75 0 TD [(R)] TJ / F7 7,97 Tf 8,91 -1,79 TD [(3)] TJ / F5 11,95 Tf 8,63 1,79 TD [(след.) 26 (ws) -325 (эти) -326 (правила) -326 (к) -28 (о!) — 435 () -326 (правила) -326 (являются :)] TJ / F10 11,95 Tf -107.73 -22,22 TD [(\ 262)] TJ / F5 11,95 Tf 11,82 0 TD [(It) -268 (м) 26 (ust) -268 (b) -27 (e) -268 (закрыто) -269 (под ) -269 (сложение) -268 (и) -269 (скаляр) -268 (m) 26 (ультипликация.) — 415 (Это) -268 (означает)] TJ 0 -14,44 TD [(это) -337 (giv ) 26 (en) -337 (t) 26 (w) 27 (o) -336 (v) 26 (ectors) -337 (from) -338 (the) -337 (v) 26 (ector) -337 (space ,) — 340 (sa) 26 (y)] TJ / F6 11,95 Tf 256,59 0 TD [(X)] TJ / F5 11,95 Tf 14,68 0 TD [(и)] TJ / F6 11,95 Tf 22,89 0 TD [(Y) ] TJ / F5 11,95 Tf 9,39 0 TD [(,) — 340 (затем)] TJ / F6 11,95 Tf 34,11 0 TD [(Z)] TJ / F11 11,95 Tf 12,42 0 TD [(=)] TJ / F6 11.95 Tf -350,08 -14,44 TD [(X)] TJ / F11 11,95 Tf 13,4 0 TD [(+)] TJ / F6 11,95 Tf 11,85 0 TD [(Y)] TJ / F5 11,95 Tf 13,43 0 TD [(м) 27 (ust) -337 (также) -337 (b) -28 (e) -337 (in) -338 (the) -338 (то же) -337 (пробел.) — 469 (F) 80 (or) — 336 (ан) 26 (y) -337 (реальный) -337 (n) 26 (um) 27 (b) -26 (er)] TJ / F6 11,95 Tf 277,45 0 TD [(r)] TJ / F5 11,95 Tf 9,64 0 TD [(если)] TJ / F6 11,95 Tf 10,86 0 TD [(X)] TJ / F5 11,95 Tf 14,69 0 TD [(is)] TJ -351,32 -14,44 TD [(дюйм) -352 (the) — 352 (пробел) -353 (затем) -352 (так) -352 (м) 26 (ust)] TJ / F6 11,95 Tf 136,94 0 TD [(r) -26 (X)] TJ / F5 11,95 Tf 16.25 0 TD [(.) — 512 (неофициально) -352 (сказано) -353 (w) 26 (e) -351 (не может) -352 (ev) 26 (er) -351 (\ 020lea) 26 (v) 27 (e \ 021)] TJ -153,19 -14,44 TD [(the) -326 (v) 26 (ector) -325 (space) -326 (используя) -327 (эти) -326 (op) -27 (erations .)] TJ / F10 11,95 Tf -11,82 -23,11 TD [(\ 262)] TJ / F5 11,95 Tf 11,82 0 TD [(It) -337 (м) 26 (ust) -337 (con) 26 (tain) — 336 (a) -338 (ноль-v) 26 (ector)] TJ / F6 11,95 Tf 153,17 0 TD [(V)] TJ / F7 7,97 Tf 6,82 -1,8 TD [(0)] TJ / F5 11,95 Tf 8,76 1,8 TD [(так) -337 (для) -338 (все) -338 (в) 26 (экторы) -336 (X) -338 (в) -337 (в) -338 (пробел)] TJ / F6 11.95 Tf 167,03 0 TD [(V)] TJ / F7 7,97 Tf 6,82 -1,8 TD [(0)] TJ / F11 11,95 Tf 7,48 1,8 TD [(+)] TJ / F6 11,95 Tf -350,08 -14,45 TD [(X )] TJ / F11 11,95 Tf 13,97 0 TD [(=)] TJ / F6 11,95 Tf 12,43 0 TD [(X)] TJ / F5 11,95 Tf 10,65 0 TD [(.) — 434 (F) 80 (или) — 325 (все) -327 (v) 27 (экторы)] TJ / F6 11,95 Tf 85,37 0 TD [(X)] TJ / F5 11,95 Tf 14,56 0 TD [(it) -326 (m) 27 (ust) -326 (также) -326 (b) -27 (e) -326 (верно) -327 (что)] TJ / F11 11,95 Tf 130,13 0 TD [(0)] TJ / F6 11,95 Tf 5,85 0 TD [(X)] TJ / F11 11,95 Tf 13,97 0 TD [(=)] TJ / F6 11,95 Tf 12,42 0 TD [(V)] TJ / F7 7,97 Tf 6.82 -1,79 TD [(0)] TJ / F5 11,95 Tf 4,74 1,79 TD [(.)] TJ / F10 11,95 Tf -322,73 -23,1 TD [(\ 262)] TJ / F5 11,95 Tf 11,82 0 TD [(It) -274 (м) 26 (уст) -273 (фолло) 27 (ш) -273 (стандарт) -274 (математика) -275 (правила) -274 (успех) 27 (в) -273 (как) -274 ( the) -274 (asso) -28 (ciativ) 27 (e) -274 (la) 27 (w,)] TJ 0 -14,45 TD [(comm) 26 (utativ) 28 (e) -326 (la) 27 (w) -326 (и т. д.)] TJ 162,04 -29,88 TD [(5)] TJ ET конечный поток endobj 65 0 объект > endobj 60 0 obj > endobj 68 0 объект > поток 0,00 г 0,00 G BT / F5 11,95 Tf 48,43 -68,72 TD [(Нет) 27 (w) -351 (I) -351 (дюйм) 26 (tro) -26 (duce) -351 (to) -351 ( y) 26 (ou) -350 (the) -351 (concept) -352 (of) -351 (a) -351 (linear) -351 (com) 26 (bination) -350 (of) -352 (v) 26 (экторы)] TJ-17.55 -14,44 TD [(от) -336 (a) -337 (v) 26 (ector) -336 (пробел.) — 468 (Said) -337 (in) -337 (w) 26 (ords) -336 ( это) -338 (что) -337 (y) 27 (ou) -337 (get) -337 (if) -337 (y) 26 (ou) -336 (com) 26 (bine) -336 (v) 26 (экторы)] TJ 0 -14,45 TD [(от) -258 (в) -259 (пробел) -259 (с использованием) -258 (сложение) -259 (и) -259 (м) 26 (умножение) -258 ( с) -259 (скаляры) -258 (\ (вещественные) -259 (n) 26 (um) 27 (b) -26 (ers \).)] TJ 0 -14,44 TD [(F) 81 (или) — 377 (пример) -379 (если) -379 (y) 26 (ou) -378 (ha) 26 (v) 28 (e) -378 (v) 26 (ectors)] TJ / F6 11,95 Tf 170,06 0 TD [ (X)] TJ / F5 11,95 Tf 10,66 0 TD [(,)] TJ / F6 11.95 Tf 7,93 0 TD [(Y)] TJ / F5 11,95 Tf 13,92 0 TD [(и)] TJ / F6 11,95 Tf 23,38 0 TD [(Z)] TJ / F5 11,95 Tf 13,39 0 TD [(y) 26 ( ou) -378 (could) -378 (com) 26 (bine) -378 (them) -379 (lik) 26 (e)] TJ -239.34 -14.44 TD [(this :)] TJ / F6 11.95 Tf 28.21 0 TD [(V)] TJ / F11 11,95 Tf 13,46 0 TD [(=) — 337 (2)] TJ / F6 11,95 Tf 18,99 0 TD [(X)] TJ / F11 11,95 Tf 13,6 0 TD [(+) — 246 (4)] TJ / F6 11,95 Tf 17,9 0 TD [(Y)] TJ / F11 11,95 Tf 12,33 0 TD [(+) — 246 (\ ()] TJ / F10 11,95 Tf 16,6 0 TD [(\ 241) ] TJ / F11 11,95 Tf 9,29 0 TD [(3 \))] TJ / F6 11,95 Tf 10,4 0 TD [(Z)] TJ / F5 11.95 Tf 13,2 0 TD [(и) -361 (затем)] TJ / F6 11,95 Tf 50,24 0 TD [(V)] TJ / F5 11,95 Tf 13,75 0 TD [(w) 27 (ould) -361 (b) — 27 (e) -362 (a) -361 (линейный) -362 (com) 26 (bination) -360 (of)] TJ-217,97 -14,44 TD [(the) -325 (v) 26 (ectors)] TJ / F6 11,95 Tf 59,86 0 TD [(X)] TJ / F5 11,95 Tf 10,65 0 TD [(,)] TJ / F6 11,95 Tf 7,15 0 TD [(Y)] TJ / F5 11,95 Tf 13,29 0 TD [(и) ] TJ / F6 11,95 Tf 22,75 0 TD [(Z)] TJ / F5 11,95 Tf 8,87 0 TD [(.)] TJ -105,02 -14,44 TD [(хорошо,) — 339 (что) -340 (может) -340 (w) 27 (e) -339 (sa) 26 (y) -339 (ab) -27 (out)] TJ / F6 11,95 Tf 147,92 0 TD [(V)] TJ / F5 11.95 Tf 9,42 0 TD [(?) — 475 (W) 80 (ell,) — 342 (от) -339 (правило) -340 (n) 26 (um) 27 (b) -26 (er) -340 ( 1) -339 (ab) -27 (o) 26 (v) 27 (e) -339 (w) 26 (e) -338 (can)] TJ -174,89 -14,45 TD [(см.) -262 (that) ] TJ / F6 11,95 Tf 42,74 0 TD [(V)] TJ / F5 11,95 Tf 12,56 0 TD [(м) 27 (ust) -262 (b) -27 (удлиненный) -263 (to) -262 (the) -263 (то же) -263 (v) 26 (эктор) -261 (пробел) -263 (as)] TJ / F6 11,95 Tf 204,77 0 TD [(X)] TJ / F5 11,95 Tf 10,66 0 TD [(,) ] TJ / F6 11,95 Tf 6,54 0 TD [(Y)] TJ / F5 11,95 Tf 12,53 0 TD [(и)] TJ / F6 11,95 Tf 21,99 0 TD [(Z)] TJ / F5 11,95 Tf 8,86 0 TD [( .) — 414 (Со) -27 (ол,) — 275 (вот)] ТДЖ -320.65 -14,44 TD [(что) -325 (w) 26 (e) -326 (необходимо) -326 (to) -326 (de \ 034ne) -326 (что) -327 (a) -326 (основание) — 326 (для) -327 (a) -326 (giv) 26 (en) -325 (v) 26 (ector) -325 (пробел) -327 (is.)] TJ 17,55 -14,44 TD [(A) -251 (основа) -251 (для) -252 (а) -251 (в) 26 (эктор) -250 (пробел) -252 (есть) -251 (а) -251 (сборник) -252 (из) -251 ( v) 26 (экторы,) — 266 (b) -27 (удлинение) -251 (к) -252 (то) -251 (пробел,)] TJ -17,55 -14,44 TD [(для) -325 (whic) 26 (h) -326 (the) -326 (follo) 26 (крыло) -325 (удерживает :)] TJ / F10 11,95 Tf 17,43 -27,39 TD [(\ 262)] TJ / F5 11,95 Tf 11,82 0 TD [(Ev ) 26 (ery) -275 (v) 26 (ector) -276 (in) -276 (the) -277 (v) 26 (ector) -275 (space) -277 (is) -276 (a) -277 (линейный) -277 (com) 26 (bination) -275 (из) -277 (v) 26 (экторы) -275 (из)] TJ 0-14.44 TD [(в) -326 (базис.)] TJ / F10 11,95 Tf -11,82 -24,4 TD [(\ 262)] TJ / F5 11,95 Tf 11,82 0 TD [(Eac) 26 (h) -331 (из) -332 (the) -332 (v) 26 (ectors) -331 (in) -333 (the) -332 (базис) -332 (can) -333 (not) -332 (b) -27 (e) — 332 (сделано) -333 (от) -332 (a) -332 (линейный) -332 (com) 26 (bi -)] TJ 0 -14,45 TD [(нация) -326 (из) -326 (the) — 327 (другое) -326 (основание) -326 (v) 26 (экторы)] TJ -11,7 -27,39 TD [(The) -381 (минимальное) -381 (n) 27 (um) 27 (b) -26 (эр) -382 (из) -381 (в) 27 (экторы) -381 (необходимо) -381 (в) -381 (создать) -381 (а) -381 (базис) -381 (для) -381 ( а) -381 (v) 26 (эктор)] TJ-17.55 -14.44 TD [(пробел) -292 (есть) -293 (равно) -293 (к) -293 (тот) -293 (размер) 27 (тион) -292 (из) -293 (тот) -293 ( пробел.) — 424 (So) -293 (ho) 26 (w) -292 (man) 27 (y) -292 (v) 26 (ectors) -292 (are) -293 (in) -293 (the) ] TJ 0 -14,44 TD [(базис) -325 (для)] TJ / F6 11,95 Tf 46,6 0 TD [(R)] TJ / F7 7,97 Tf 8,91 -1,79 TD [(3)] TJ / F5 11,95 Tf 4,73 1,79 TD [(?) — 435 (Или)] TJ / F6 11,95 Tf 28,27 0 TD [(R)] TJ / F7 7,97 Tf 8,91 -1,79 TD [(2)] TJ / F5 11,95 Tf 4,73 1,79 TD [(?) ] TJ / F8 17,21 Tf -102,15 -39,92 TD [(2,2) -1078 (Случай) -360 (исследование :)] TJ / F6 17,21 Tf 145,31 0 TD [(R)] TJ / F11 11.95 Tf 12,82 -2,58 TD [(3)] TJ / F5 11,95 Tf -158,13 -23,69 TD [(I) -292 (думаю) -292 (это) -293 (время) -292 (to) -293 (tak) 27 (e) -292 (a) -293 (перерыв) -292 (от) -293 (the) -292 (аннотация) -293 (de \ 034nitions) -292 (ab) -27 (o) 26 (v) 27 (e) -291 (и) -293 (lo) -27 (ok)] TJ 0 -14,44 TD [(at) -411 (a) -412 (знакомо) -412 (пример) — 692 (после) -412 (чтение) -412 (и) -412 (понимание) -412 (это) -412 (пример) -412 (y) 26 (ou)] TJ 0 -14,45 TD [(следует) -303 (понять) — 303 (the) -304 (stu \ 033) -303 (ab) -28 (o) 27 (v) 27 (e) -303 (w) 26 (ell) -302 (достаточно) -304 (для) -303 (это) -304 (пап) -27 (эр.) -428 (Let) -303 (us) -304 (lo) -27 (ok) -304 (at)] TJ 0 -14,44 TD [(the) -323 (стандарт) -324 (3D) -324 (v ) 27 (ector) -323 (пробел) -324 (w) 26 (e) -323 (kno) 27 (w) -323 (as)] TJ / F6 11,95 Tf 215,91 0 TD [(R)] TJ / F7 7,97 Tf 8,91 -1,79 TD [(3)] TJ / F5 11,95 Tf 4,73 1,79 TD [(.) — 434 (Is) -323 (it) -324 (a) -324 (v) 26 (ector) -323 ( пробел?) — 434 (W) 81 (ell,) — 324 (w) 27 (e)] TJ -229,55 -14,44 TD [(c) 27 (hec) 27 (k) -285 (the) -285 (правила ) -286 (\ (v) 26 (ery) -285 (неофициально \).) — 421 (Is) -286 (it) -286 (закрыто) -286 (внизу) -285 (сложение?) — 422 (если ) -286 (w) 26 (e) -284 (ha) 26 (v) 27 (e) -285 (t) 26 (w) 28 (o)] TJ 0-14.44 TD [(v) 27 (ectors) -260 (from)] TJ / F6 11,95 Tf 65,78 0 TD [(R)] TJ / F7 7,97 Tf 8,91 -1,79 TD [(3)] TJ / F5 11,95 Tf 4,73 1,79 TD [(,) — 274 (sa) 26 (y)] TJ / F6 11,95 Tf 25,97 0 TD [(X)] TJ / F11 11,95 Tf 13,97 0 TD [(=) — 277 (\ (2)] TJ / F6 11,95 Tf 22,82 0 TD [(;)] TJ / F11 11,95 Tf 5,24 0 TD [(5)] TJ / F6 11,95 Tf 5,86 0 TD [(;)] TJ / F11 11,95 Tf 5,24 0 TD [(4 \) )] TJ / F5 11,95 Tf 13,52 0 TD [(и)] TJ / F6 11,95 Tf 21,98 0 TD [(Y)] TJ / F11 11,95 Tf 12,71 0 TD [(=) — 277 (\ (6)] TJ / F6 11,95 Tf 22,82 0 TD [(;)] TJ / F11 11,95 Tf 5,24 0 TD [(3)] TJ / F6 11,95 Tf 5.85 0 TD [(;)] TJ / F11 11,95 Tf 5,25 0 TD [(8 \))] TJ / F5 11,95 Tf 10,4 0 TD [(,) — 274 (is)] TJ / F6 11,95 Tf 17,52 0 TD [ (Z)] TJ / F11 11,95 Tf 12,18 0 TD [(=)] TJ / F6 11,95 Tf 12,43 0 TD [(X)] TJ / F11 11,95 Tf 11,72 0 TD [(+)] TJ / F6 11,95 Tf 10,17 0 TD [(Y)] TJ / F11 11,95 Tf 12,71 0 TD [(=) — 277 (\ (8)] TJ / F6 11,95 Tf 22,82 0 TD [(;)] TJ / F11 11,95 Tf 5,24 0 TD [(8 )] TJ / F6 11,95 Tf 5,85 0 TD [(;)] TJ / F11 11,95 Tf 5,25 0 TD [(12 \))] TJ / F5 11,95 Tf -372,18 -14,44 TD [(дюйм)] TJ / F6 11,95 Tf 13,65 0 TD [(R)] TJ / F7 7,97 Tf 8,9 -1,8 TD [(3)] TJ / F5 11.95 Tf 4,73 1,8 TD [(?) — 435 (Y) 81 (es,) — 326 (w) 27 (e) -326 (b) -27 (eliev) 26 (e) -325 (this) -326 ( есть) -327 (the) -326 (case.)] TJ -9.73 -14.45 TD [(F) 81 (или) -333 (an) 26 (y) -334 (real) -334 (n) 26 (um) ) 27 (b) -26 (er)] TJ / F6 11,95 Tf 108,78 0 TD [(r)] TJ / F5 11,95 Tf 5,59 0 TD [(,) — 336 (sa) 26 (y)] TJ / F6 11,95 Tf 27,59 0 TD [(r)] TJ / F11 11,95 Tf 9,08 0 TD [(=) — 292 (2)] TJ / F5 11,95 Tf 18,44 0 TD [(,) — 336 (is)] TJ / F6 11,95 Tf 19,14 0 TD [(r) -27 (X)] TJ / F11 11,95 Tf 19,74 0 TD [(=) — 291 (\ (4)] TJ / F6 11,95 Tf 22,99 0 TD [(;)] TJ / F11 11,95 Tf 5,24 0 TD [(10)] TJ / F6 11.95 Tf 11,7 0 TD [(;)] TJ / F11 11,95 Tf 5,24 0 TD [(8 \))] TJ / F5 11,95 Tf 14,4 0 TD [(дюйм)] TJ / F6 11,95 Tf 13,75 0 TD [(R) ] TJ / F7 7,97 Tf 8,91 -1,79 TD [(3)] TJ / F5 11,95 Tf 4,73 1,79 TD [(?) — 459 (Chec) 26 (k!) — 458 (Первый)] TJ -312,87 -14,44 TD [ (правило) -325 (выполняется.)] TJ 17,55 -14,44 TD [(Is) -315 (там) -315 (a) -316 (ноль) -315 (v) 26 (эктор) -314 (тогда?) — 432 (Y) 81 (es,) — 317 (w) 26 (e) -314 (использование)] TJ / F6 11,95 Tf 206,8 0 TD [(V)] TJ / F7 7,97 Tf 6,82 -1,79 TD [(0) ] TJ / F11 11,95 Tf 8,05 1,79 TD [(=) — 278 (\ (0)] TJ / F6 11,95 Tf 22,83 0 TD [(;)] TJ / F11 11.95 Tf 5,24 0 TD [(0)] TJ / F6 11,95 Tf 5,85 0 TD [(;)] TJ / F11 11,95 Tf 5,25 0 TD [(0 \))] TJ / F5 11,95 Tf 14,17 0 TD [(и) -315 () -315 (правило) -315 (удерживает.)] TJ -275,01 -14,44 TD [(Chec) 27 (король) -259 (тот) -260 (третий) -260 (правило) -259 (в ) 26 (v) 27 (olv) 27 (es) -259 (a) -259 (lot) -260 (of) -260 (утомительно) -260 (c) 27 (hec) 27 (ks) -259 (so ) -260 (я) -260 (просто) -259 (мужчины) 26 (тион)] TJ -17,55 -14,44 TD [(в) -316 (общ.) 26 (утатив) 28 (е) -316 (ля ) 26 (w) -315 (sa) 26 (ying) -316 (that)] TJ / F6 11,95 Tf 171,73 0 TD [(X)] TJ / F11 11,95 Tf 13,07 0 TD [(+)] TJ / F6 11,95 ТФ 11.52 0 TD [(Y)] TJ / F11 11,95 Tf 12,71 0 TD [(=)] TJ / F6 11,95 Tf 12,43 0 TD [(Y)] TJ / F11 11,95 Tf 11,8 0 TD [(+)] TJ / F6 11,95 Tf 11,53 0 TD [(X)] TJ / F5 11,95 Tf 10,65 0 TD [(.) — 431 (Ob) 26 (сильно) -316 (что) -316 (удерживает) -317 (для)] TJ -255,44 -14,44 TD [(v) 27 (ectors) -325 (from)] TJ / F6 11,95 Tf 67,34 0 TD [(R)] TJ / F7 7,97 Tf 8,9 -1,8 TD [(3)] TJ / F5 11,95 Tf 4,73 1,8 TD [(.)] TJ -63,42 -14,45 TD [(So)] TJ / F6 11,95 Tf 16,17 0 TD [(R)] TJ / F7 7,97 Tf 8,91 -1,79 TD [(3)] TJ / F5 11,95 Tf 8.55 1.79 TD [(is) -319 (a) -320 (v) 26 (ector) -319 (space!) — 433 (What) -319 (is) -320 (its) -320 (base?) — 433 (The) -319 (основание) -320 (для)] TJ / F6 11.95 Tf 258,78 0 TD [(R)] TJ / F7 7,97 Tf 8,91 -1,79 TD [(3)] TJ / F5 11,95 Tf 8,55 1,79 TD [(есть) -320 (называется) -319 (the)] TJ -327,42 -14,44 TD [(\ 020standard) -334 (базис \ 021) -417 (и) -334 (con) 26 (tains) -334 (3) -335 (v) 26 (ectors)] TJ / F11 11,95 Tf 205,04 0 TD [(\ ()] TJ / F6 11,95 Tf 4,55 0 TD [(e)] TJ / F7 7,97 Tf 5,42 -1,79 TD [(1)] TJ / F6 11,95 Tf 4,73 1,79 TD [(;) — 166 ( e)] TJ / F7 7,97 Tf 10,67 -1,79 TD [(2)] TJ / F6 11,95 Tf 4,73 1,79 TD [(;) — 166 (e)] TJ / F7 7,97 Tf 10,67 -1,79 TD [(3)] TJ / F11 11,95 Tf 4,73 1,79 TD [(\))] TJ / F5 11,95 Tf 4,55 0 TD [(.) -460 (Что) -335 (есть) -335 (те) -335 (v) 26 (экторы?)] TJ -255,09 -14,44 TD [(Они) -325 (являются :)] TJ / F6 11,95 Tf 54,27 0 TD [(e)] TJ / F7 7,97 Tf 5,42 -1,79 TD [(1)] TJ / F11 11,95 Tf 8,06 1,79 TD [(=) — 277 (\ (1)] TJ / F6 11,95 Tf 22,82 0 TD [ (;)] TJ / F11 11,95 Tf 5,24 0 TD [(0)] TJ / F6 11,95 Tf 5,85 0 TD [(;)] TJ / F11 11,95 Tf 5,25 0 TD [(0 \))] TJ / F5 11,95 Tf 10,4 0 TD [(,)] TJ / F6 11,95 Tf 7,15 0 TD [(e)] TJ / F7 7,97 Tf 5,42 -1,79 TD [(2)] TJ / F11 11,95 Tf 8,05 1,79 TD [(=) — 278 ( \ (0)] TJ / F6 11,95 Tf 22,83 0 TD [(;)] TJ / F11 11,95 Tf 5,24 0 TD [(1)] TJ / F6 11.95 Tf 5,85 0 TD [(;)] TJ / F11 11,95 Tf 5,25 0 TD [(0 \))] TJ / F5 11,95 Tf 14,3 0 TD [(и)] TJ / F6 11,95 Tf 22,75 0 TD [(e) ] TJ / F7 7,97 Tf 5,42 -1,79 TD [(3)] TJ / F11 11,95 Tf 8,05 1,79 TD [(=) — 277 (\ (0)] TJ / F6 11,95 Tf 22,83 0 TD [(;)] TJ / F11 11,95 Tf 5,24 0 TD [(0)] TJ / F6 11,95 Tf 5,85 0 TD [(;)] TJ / F11 11,95 Tf 5,24 0 TD [(1 \))] TJ / F5 11,95 Tf 10,41 0 TD [(. )] TJ -85,9 -43,37 TD [(6)] TJ ET конечный поток endobj 69 0 объект > endobj 67 0 объект > endobj 72 0 объект > поток 0,00 г 0,00 G BT / F5 11,95 Tf 48,43 -68,72 TD [(W) 81 (ell,) — 362 (если) -355 (то) -356 (is) -356 (действительно) -355 (the) -356 ( основание) -355 (для)] TJ / F6 11.95 Tf 184,43 0 TD [(R)] TJ / F7 7,97 Tf 8,91 -1,8 TD [(3)] TJ / F5 11,95 Tf 8,98 1,8 TD [(тогда) -355 (w) 26 (e) -354 (должно) -356 (b) -27 (e) -356 (способный) -355 (to) -356 (производный) 26 (e)] TJ -219,87 -14,44 TD [(an) 27 (y) -433 (v) 26 (ector) -433 (от)] TJ / F6 11,95 Tf 88,7 0 TD [(R)] TJ / F7 7,97 Tf 8,9 -1,8 TD [(3)] TJ / F5 11,95 Tf 9,93 1,8 TD [(as) -433 (а) -435 (линейный) -434 (ком) 26 (бинин) -433 (из) -435 (те) -434 (в) 26 (экторы) -433 (правый) 26 (т?) — 758 (Вт ) 80 (ell,)] TJ -107,53 -14,45 TD [(w) 27 (e’ll) -326 (ha) 26 (v) 28 (e) -326 (to) -327 (con) 26 (vince) -325 (ourselv) 26 (es) -326 (ab) -27 (out) -327 (this) -327 (so) -326 (giv) 26 (en) -326 (an) 26 (y) -326 ( v) 27 (эктор) -326 (из)] TJ / F6 11.95 Tf 351,32 0 TD [(R)] TJ / F7 7,97 Tf 8,91 -1,79 TD [(3)] TJ / F5 11,95 Tf 4,73 1,79 TD [(,) — 326 (sa) 26 (y)] TJ / F6 11,95 Tf -364,96 -14,44 TD [(V)] TJ / F11 11,95 Tf 12,74 0 TD [(=) — 277 (\ (5)] TJ / F6 11,95 Tf 22,82 0 TD [(;)] TJ / F11 11,95 Tf 5,25 0 TD [(2)] TJ / F6 11,95 Tf 5,85 0 TD [(;)] TJ / F11 11,95 Tf 5,24 0 TD [(4 \))] TJ / F5 11,95 Tf 10,4 0 TD [(,) — 270 ( can) -257 (w) 26 (e) -256 (производная) 27 (e) -256 (this) -257 (from) -257 (a) -256 (linear) -257 (com) 26 (bination) — 256 (из)] TJ / F11 11,95 Tf 244,77 0 TD [(\ ()] TJ / F6 11,95 Tf 4,55 0 TD [(e)] TJ / F7 7.97 Tf 5,42 -1,79 TD [(1)] TJ / F6 11,95 Tf 4,74 1,79 TD [(;) — 166 (e)] TJ / F7 7,97 Tf 10,66 -1,79 TD [(2)] TJ / F6 11,95 Tf 4,73 1,79 TD [(;) — 166 (e)] TJ / F7 7,97 Tf 10,67 -1,79 TD [(3)] TJ / F11 11,95 Tf 4,73 1,79 TD [(\))] TJ / F5 11,95 Tf 4,55 0 TD [(? ) -412 (Y) 81 (es,)] TJ -357,12 -14,44 TD [(b) -26 (ecause) -234 (in) -233 (this) -233 (case)] TJ / F11 11,95 Tf 100,07 0 TD [(5)] TJ / F6 11,95 Tf 5,85 0 TD [(e)] TJ / F7 7,97 Tf 5,42 -1,79 TD [(1)] TJ / F11 11,95 Tf 5,12 1,79 TD [(+) — 32 (2) ] TJ / F6 11,95 Tf 15,34 0 TD [(e)] TJ / F7 7,97 Tf 5,42 -1,79 TD [(2)] TJ / F11 11.95 Tf 5,12 1,79 TD [(+) — 32 (4)] TJ / F6 11,95 Tf 15,34 0 TD [(e)] TJ / F7 7,97 Tf 5,42 -1,79 TD [(3)] TJ / F11 11,95 Tf 8,05 1,79 TD [(=) — 277 (5 \ (1)] TJ / F6 11,95 Tf 28,68 0 TD [(;)] TJ / F11 11,95 Tf 5,24 0 TD [(0)] TJ / F6 11,95 Tf 5,85 0 TD [(; )] TJ / F11 11,95 Tf 5,24 0 TD [(0 \)) — 32 (+) — 32 (2 \ (0)] TJ / F6 11,95 Tf 36,53 0 TD [(;)] TJ / F11 11,95 Tf 5,25 0 TD [(1)] TJ / F6 11,95 Tf 5,85 0 TD [(;)] TJ / F11 11,95 Tf 5,24 0 TD [(0 \)) — 32 (+) — 32 (4 \ (0)] TJ / F6 11,95 Tf 36,53 0 TD [(;)] TJ / F11 11,95 Tf 5,24 0 TD [(0)] TJ / F6 11,95 Tf 5,85 0 TD [(;)] TJ / F11 11.95 Tf 5,25 0 TD [(1 \)) — 277 (=) — 278 (\ (5)] TJ / F6 11,95 Tf 36,54 0 TD [(;)] TJ / F11 11,95 Tf 5,24 0 TD [(2)] TJ / F6 11,95 Tf 5,86 0 TD [(;)] TJ / F11 11,95 Tf 5,24 0 TD [(4 \))] TJ / F5 11,95 Tf 10,4 0 TD [(.)] TJ -385,18 -14,44 TD [(Это ) -304 (прозрачный) -304 (что)] TJ / F6 11,95 Tf 73,06 0 TD [(e)] TJ / F7 7,97 Tf 5,42 -1,8 TD [(1)] TJ / F5 11,95 Tf 8,37 1,8 TD [(не может ) -304 (b) -27 (e) -305 (сделано) -305 (от)] TJ / F6 11,95 Tf 112,07 0 TD [(e)] TJ / F7 7,97 Tf 5,42 -1,8 TD [(2)] TJ / F5 11,95 Tf 8,37 1,8 TD [(и)] TJ / F6 11,95 Tf 22,49 0 TD [(e)] TJ / F7 7,97 Tf 5.43 -1,8 TD [(3)] TJ / F5 11,95 Tf 8,37 1,8 TD [(b) -27 (ecause) -304 (нет) -305 (материально) -305 (ho) 26 (w) -303 (y) 26 (ou)] TJ -249 -14.44 TD [(com) 27 (bine) -267 (них) -268 (the) -269 (\ 034rst) -268 (v) 26 (ector) -267 (comp) — 27 (онен) 26 (t) -267 (w) 26 (ould) -267 (неподвижный) -268 (b) -27 (e) -269 (ноль) -268 (справа) 26 (t?) — 414 ( То же) -269 (может)] TJ 0 -14,45 TD [(b) -26 (e) -327 (сказал) -326 (для) -326 (тот) -327 (другой) -326 (t) 26 (w ) 28 (o) -326 (базис) -326 (v) 26 (экторы)] TJ / F8 17,21 Tf 0 -39,91 TD [(2,3) -1078 (Co) -30 (ординаты)] TJ / F5 11,95 Tf 0 -26,28 TD [(Нет) 27 (w) -306 (для) -308 (an) -307 (imp) -28 (ortan) 27 (t) -307 (de \ 034nition:) — 426 (the) — 307 (со) -27 (ордината.) -429 (The) -308 (co) -27 (ордината) -307 (для) -308 (a) -307 (p) -28 (oin) 27 (t)] TJ 0 -14,44 TD [(in) -257 (a) -257 (v) 26 (эктор) -256 (пробел) -258 (is) -257 (build) -257 (from) -258 (the) -257 (scalars) -258 (that) — 257 (ар) -257 (м) 26 (окончание) -257 (к) -257 (в) -257 (базис) -258 (в) 26 (ec -)] TJ 0 -14,44 TD [(торс) -314 (in) -316 (the) -315 (linear) -315 (com) 26 (bination) -314 (for) -316 (the) -315 (p) -27 (oin) 26 (t.) — 430 ( In) -316 (the) -315 (пример) -315 (ab) -27 (o) 26 (v) 27 (e) -314 (the) -316 (p) -27 (oin) 26 (t)] TJ / F6 11,95 Tf 0 -14,44 TD [(V)] TJ / F5 11,95 Tf 13,59 0 TD [(имеет) -348 (the) -349 (co) -27 (ордината)] TJ / F11 11.95 Tf 99,34 0 TD [(\ (5)] TJ / F6 11,95 Tf 10,4 0 TD [(;)] TJ / F11 11,95 Tf 5,24 0 TD [(2)] TJ / F6 11,95 Tf 5,86 0 TD [(;) ] TJ / F11 11,95 Tf 5,24 0 TD [(4 \))] TJ / F5 11,95 Tf 10,4 0 TD [(.) — 502 (This) -349 (migh) 27 (t) -348 (кажется) -349 ( ob) 26 (vious) -347 (b) -28 (ecause) -348 (w) 26 (e’re) -348 (used)] TJ -150,07 -14,45 TD [(to) -303 (w) 26 ( orking) -303 (с)] TJ / F6 11,95 Tf 84,34 0 TD [(R)] TJ / F7 7,97 Tf 8,91 -1,79 TD [(3)] TJ / F5 11,95 Tf 8,36 1,79 TD [(но) -304 ( mak) 27 (e) -303 (уверен) -304 (y) 26 (ou) -303 (см)] TJ / F9 11,95 Tf 116,44 0 TD [(почему)] TJ / F5 11.95 Tf 24,1 0 TD [(это) -303 (есть) -304 (действительно) -304 (его) -304 (co) -27 (ордината :)] TJ / F6 11,95 Tf -242,15 -14,44 TD [(V) ] TJ / F11 11,95 Tf 12,74 0 TD [(=) — 277 (5)] TJ / F6 11,95 Tf 18,27 0 TD [(e)] TJ / F7 7,97 Tf 5,43 -1,79 TD [(1)] TJ / F11 11,95 Tf 7,38 1,79 TD [(+) — 222 (2)] TJ / F6 11,95 Tf 17,61 0 TD [(e)] TJ / F7 7,97 Tf 5,43 -1,79 TD [(2)] TJ / F11 11,95 Tf 7,38 1,79 TD [ (+) — 222 (4)] TJ / F6 11,95 Tf 17,61 0 TD [(e)] TJ / F7 7,97 Tf 5,43 -1,79 TD [(3)] TJ / F5 11,95 Tf 8,63 1,79 TD [(так) -326 (the) -326 (скаляры) -326 (are)] TJ / F11 11,95 Tf 91,84 0 TD [(\ (5)] TJ / F6 11.95 Tf 10,41 0 TD [(;)] TJ / F11 11,95 Tf 5,24 0 TD [(2)] TJ / F6 11,95 Tf 5,85 0 TD [(;)] TJ / F11 11,95 Tf 5,24 0 TD [(4 \)) ] TJ / F5 11,95 Tf 14,3 0 TD [(-) — 326 (его) -326 (co) -28 (ордината)] TJ / F8 17,21 Tf -238,79 -39,92 TD [(2,4) -1078 (эллипсоид) — 360 (пробел)] TJ / F5 11.95 Tf 0 -26.27 TD [(By) -455 (no) 26 (w) -455 (y) 26 (ou) -456 (should) -456 (b) -27 (e) ) -456 (con) 26 (винсед) -455 (то)] TJ / F6 11,95 Tf 208,04 0 TD [(R)] TJ / F7 7,97 Tf 8,91 -1,79 TD [(3)] TJ / F5 11,95 Tf 10,19 1,79 TD [(is) -455 (a) -457 (v) 27 (ector) -456 (space) -456 (follo) 26 (wing) -455 (the)] TJ -227.14 -14,44 TD [(аксиомы) -392 (для) -393 (общие) -392 (v) 26 (экторы) -392 (пробелы.) -634 (It) -393 (должны) -393 (также) -392 (b) -28 (e) -392 (прозрачный) -393 (тот) -393 (другой) -393 (v) 27 (ector)] TJ 0 -14,44 TD [(пробелы) -404 (мог) -404 ( существует) -405 (-) — 404 (ev) 26 (en) -404 (другое) -404 (пробелы) -405 (из) -405 (3) -404 (размеры.) — 670 (F) 81 (или ) -404 (пример) -405 (что)] TJ 0 -14.45 TD [(ab) -26 (out) -348 (the) -347 (v) 26 (ector) -346 (space) -348 (made) -347 (от) -347 (основание) -348 (основание)] TJ / F6 11,95 Tf 229,71 0 TD [(v)] TJ / F7 7,97 Tf 5,65 -1,79 TD [(1)] TJ / F11 11,95 Tf 8.48 1,79 TD [(=) — 313 (\ (2)] TJ / F6 11,95 Tf 23,26 0 TD [(;)] TJ / F11 11,95 Tf 5,24 0 TD [(0)] TJ / F6 11,95 Tf 5,85 0 TD [ (;)] TJ / F11 11,95 Tf 5,24 0 TD [(0 \))] TJ / F5 11,95 Tf 10,4 0 TD [(,)] TJ / F6 11,95 Tf 7,47 0 TD [(v)] TJ / F7 7,97 Tf 5,66 -1,79 TD [(2)] TJ / F11 11,95 Tf 8,48 1,79 TD [(=) — 313 (\ (0)] TJ / F6 11,95 Tf 23,25 0 TD [(;)] TJ / F11 11,95 Tf 5,24 0 TD [(2)] TJ / F6 11,95 Tf 5,85 0 TD [(;)] TJ / F11 11,95 Tf 5,25 0 TD [(0 \))] TJ / F5 11,95 Tf 14,55 0 TD [(и)] TJ / F6 11,95 Tf -369,58 -14,44 TD [(v)] TJ / F7 7,97 Tf 5,65 -1,79 TD [(3)] TJ / F11 11.95 Tf 8,05 1,79 TD [(=) — 278 (\ (0)] TJ / F6 11,95 Tf 22,83 0 TD [(;)] TJ / F11 11,95 Tf 5,24 0 TD [(0)] TJ / F6 11,95 Tf 5,85 0 TD [(;)] TJ / F11 11,95 Tf 5,25 0 TD [(2 \))] TJ / F5 11,95 Tf 10,4 0 TD [(.) — 429 (Whic) 26 (h) -308 (v) 26 (ectors ) -309 (или) -310 (p) -27 (oin) 26 (ts) -309 (do) -27 (es) -309 (this) -310 (пробел) -310 (con) 26 (tain?) -428 (The) -310 (то же) -310 (as)] TJ / F6 11,95 Tf -63,27 -14,44 TD [(R)] TJ / F7 7,97 Tf 8,9 -1,79 TD [(3)] TJ / F5 11,95 Tf 8,63 1,79 TD [(из) -326 (конечно) -326 (но) -327 (с) -326 (di \ 033eren) 26 (t) -325 (со) -27 (ординаты!)] TJ 0.02 -14,44 TD [(Giv) 27 (en) -397 (a) -398 (p) -27 (oin) 26 (t)] TJ / F11 11,95 Tf 76,74 0 TD [(\ (2)] TJ / F6 11,95 Tf 10,4 0 TD [(;)] TJ / F11 11,95 Tf 5,24 0 TD [(2)] TJ / F6 11,95 Tf 5,85 0 TD [(;)] TJ / F11 11,95 Tf 5,25 0 TD [(2 \)) ] TJ / F5 11,95 Tf 15,15 0 TD [(дюйм)] TJ / F6 11,95 Tf 14,5 0 TD [(R)] TJ / F7 7,97 Tf 8,91 -1,79 TD [(3)] TJ / F5 11,95 Tf 9,49 1,79 TD [ (-) — 397 (whic) 26 (h) -396 (co) -27 (ордината) -398 (w) 26 (ould) -397 (that) -397 (то же) -398 (p) -27 (oin ) 26 (t)] TJ -169,08 -14,44 TD [(га) 27 (v) 27 (e) -407 (если) -408 (w) 27 (e) -407 (con) 26 (v) 27 (erted ) -407 (он) -408 (дюйм) 27 (к) -407 (наш) -408 (новый) -408 (пробел?) — 680 (он) -408 (ш) 26 (мог) -406 (га) 26 (v) 27 (e) -407 (the) -408 (co) -27 (ордината)] TJ / F11 11.95 Tf 0 -14,45 TD [(\ (1)] TJ / F6 11,95 Tf 10,4 0 TD [(;)] TJ / F11 11,95 Tf 5,24 0 TD [(1)] TJ / F6 11,95 Tf 5,85 0 TD [(; )] TJ / F11 11,95 Tf 5,24 0 TD [(1 \))] TJ / F5 11,95 Tf 14,31 0 TD [(b) -26 (ecause :)] TJ / F11 11,95 Tf 47,84 0 TD [(1)] TJ / F6 11,95 Tf 5,85 0 TD [(v)] TJ / F7 7,97 Tf 5,66 -1,79 TD [(1)] TJ / F11 11,95 Tf 7,38 1,79 TD [(+) — 222 (1)] TJ / F6 11,95 Tf 17,61 0 TD [(v)] TJ / F7 7,97 Tf 5,66 -1,79 TD [(2)] TJ / F11 11,95 Tf 7,39 1,79 TD [(+) — 221 (1)] TJ / F6 11,95 Tf 17,61 0 TD [(v )] TJ / F7 7,97 Tf 5,65 -1,79 TD [(3)] TJ / F11 11,95 Tf 8,06 1.79 TD [(=) — 277 (\ (2)] TJ / F6 11,95 Tf 22,82 0 TD [(;)] TJ / F11 11,95 Tf 5,24 0 TD [(2)] TJ / F6 11,95 Tf 5,85 0 TD [( ;)] TJ / F11 11,95 Tf 5,25 0 TD [(2 \))] TJ / F5 11,95 Tf 10,4 0 TD [(.)] TJ -201,76 -14,44 TD [(This) -389 (is)] TJ / F9 11,95 Tf 39,98 0 TD [(точно)] TJ / F5 11,95 Tf 40,35 0 ​​TD [(the) -389 (tric) 26 (k) -388 (w) 27 (e’ll) -389 (использовать) -389 ( in) -389 (this) -389 (pap) -27 (er) -389 (to) -389 (create) -389 (a) -389 (v) 26 (ery) -388 (sp) -27 (ecial )] TJ -97,88 -14,44 TD [(v) 27 (ector) -288 (space) -288 (whic) 26 (h) -288 (has) -288 (the) -289 (prop) -27 (ert) 26 (y) -288 (тот) -288 (тот) -289 (эллипсоид) -289 (w) 26 (e’re) -287 (используя) -289 (к) -288 (прибл.) 26 (x-) ] TJ 0 -14.44 TD [(imate) -394 (наш) -395 (pla) 26 (y) 27 (er) -394 (с) -395 (b) -27 (ecomes) -395 (a) -395 (единица-сфера) ) -395 (дюйм) -395 (тот) -396 (пробел!) — 641 (A) -395 (единица) -395 (сфера)] TJ 0 -14,44 TD [(is) -399 (a) -400 ( сфера) -400 (с) -399 (радиус) -400 (=) — 400 (1) -400 (но) -399 (это) -400 (также) -400 (ан) -400 (эллипсоид) -400 ( с) -399 (радиус)] TJ / F9 11,95 Tf 342,95 0 TD [(ve) 50 (ctor)] TJ / F5 11,95 Tf 36,38 0 TD [(=)] TJ -379,33 -14,44 TD [(\ (1, 1,1 \),) — 325 (справа) 26 (t?)] TJ 17,55 -14,45 TD [(So) -226 (ho) 26 (w) -225 (do) -226 (w) 26 (e) -226 (создать) -226 (успех) 26 (h) -225 (a) -227 (пробел?) — 401 (W) 80 (ell,) — 245 (w) 26 (e’ll) -225 (ha ) 26 (v) 27 (e) -225 (к) -227 (приход) -226 (вверх) -226 (с) -227 (a) -226 (основание)] TJ -17.55 -14.44 TD [(для) -381 (the) -381 (пробел.) — 600 (If) -382 (the) -381 (эллипсоид) -382 (is) -381 (de \ 034ned) -381 (b ) 26 (y) -381 (a) -381 (радиус) -381 (v) 26 (ector) -381 (of)] TJ / F11 11,95 Tf 322,78 0 TD [(\ ()] TJ / F6 11,95 Tf 4,55 0 TD [(x;) — 166 (y) -36 (;) — 167 (z)] TJ / F11 11,95 Tf 29,24 0 TD [(\))] TJ / F5 11,95 Tf 9,11 0 TD [(затем)] TJ -365.68 -14.44 TD [(w) 27 (e’ll) -286 (просто) -287 (c) 26 (шланг) -287 (the) -287 (базис) -287 (to) -287 (b) -27 (e :)] TJ / F6 11,95 Tf 161,67 0 TD [(v)] TJ / F7 7,97 Tf 5,66 -1,79 TD [(1)] TJ / F11 11,95 Tf 8,05 1,79 TD [(=) — 277 (\ ()] TJ / F6 11.95 Tf 16,97 0 TD [(x;)] TJ / F11 11,95 Tf 11,9 0 TD [(0)] TJ / F6 11,95 Tf 5,85 0 TD [(;)] TJ / F11 11,95 Tf 5,24 0 TD [(0 \) )] TJ / F5 11,95 Tf 10,4 0 TD [(,)] TJ / F6 11,95 Tf 6,78 0 TD [(v)] TJ / F7 7,97 Tf 5,66 -1,79 TD [(2)] TJ / F11 11,95 Tf 8,05 1,79 TD [(=) — 277 (\ (0)] TJ / F6 11,95 Tf 22,82 0 TD [(;) — 166 (y) -36 (;)] TJ / F11 11,95 Tf 16,62 0 TD [(0 \))] TJ / F5 11,95 Tf 13,84 0 TD [(и)] TJ / F6 11,95 Tf 22,28 0 TD [(v)] TJ / F7 7,97 Tf 5,66 -1,79 TD [(3)] TJ / F11 11,95 Tf 8,05 1,79 TD [( =) — 277 (\ (0)] TJ / F6 11,95 Tf 22,82 0 TD [(;)] TJ / F11 11,95 Tf 5.25 0 TD [(0)] TJ / F6 11,95 Tf 5,85 0 TD [(;) — 166 (z)] TJ / F11 11,95 Tf 11,21 0 TD [(\))] TJ / F5 11,95 Tf 4,55 0 TD [( .)] TJ -385,18 -14,44 TD [(Нет) 27 (w) -318 (дюйм) -319 (это) -319 (пробел) -319 (the) -318 (эллипсоиды) -319 (радиус) -319 ( v) 26 (эктор) -318 (будет) -319 (b) -27 (e)] TJ / F11 11,95 Tf 272,11 0 TD [(\ (1)] TJ / F6 11,95 Tf 10,4 0 TD [(;)] TJ / F11 11,95 Tf 5,24 0 TD [(1)] TJ / F6 11,95 Tf 5,85 0 TD [(;)] TJ / F11 11,95 Tf 5,25 0 TD [(1 \))] TJ / F5 11,95 Tf 14,21 0 TD [ (-) — 318 (это будет) -319 (b) -28 (e) -318 (a) -319 (unit)] TJ -313.06 -14.44 TD [(сфера) -376 (as) -378 (w ) 26 (е) -376 (желательно.) -588 (Y) 81 (ou) -377 (can) -377 (c) 26 (hec) 28 (k) -377 (if) -377 (that) -377 (c) 26 (hoice) -376 ( из) -378 (базис) -377 (реально) -377 (де \ 034nes) -378 (а)] TJ 191,29 -41,92 TD [(7)] TJ ET конечный поток endobj 73 0 объект > endobj 71 0 объект > endobj 78 0 объект > endobj 81 0 объект > endobj 82 0 объект > поток 0,00 г 0,00 G BT / F5 11,95 Tf 30,88 -68,72 TD [(v) 54 (alid) -370 (v) 26 (ector) -370 (пробел) -372 (if) -371 (y) 26 (ou) — 370 (w) 26 (an) 27 (t) -370 (-) — 371 (или) -372 (y) 27 (ou) -371 (can) -371 (просто) -371 (tak) 26 (e) -371 (м) 27 (у) -371 (ш) 27 (орд) -371 (для) -371 (нем.) -570 (W) 80 (e’ll)] TJ 0 -14,44 TD [(звонок) -325 (наш) -327 (новый) -326 (de \ 034ned) -326 (v) 26 (ector) -325 (пробел) -327 (для) -326 () -326 (\ 020ellipsoid) -327 (пробел \ 021.)] TJ 17,55 -14,45 TD [(The)] TJ / F9 11,95 Tf 24,03 0 TD [(последний) ] TJ / F5 11,95 Tf 22,64 0 TD [(вещь) -324 (w) 26 (e) -324 (потребность) -324 (to) -325 (kno) 26 (w) -323 (is) -325 (ho ) 26 (w) -324 (к) -324 (перевод) -325 (a) -324 (p) -28 (oin) 27 (t) -324 (от)] TJ / F6 11,95 Tf 286,87 0 TD [( R)] TJ / F7 7,97 Tf 8,91 -1,79 TD [(3)] TJ / F5 11,95 Tf 8,61 1,79 TD [(дюйм) 27 (к)] TJ -368,61 -14,44 TD [(the) -317 (эллипсоид) — 318 (пробел.) -432 (W) 81 (e’re) -317 (дюйм) -318 (luc) 26 (k,) — 318 (b) -27 (ecause) -318 (it) -318 (обороты) -318 ( out) -318 (это) -317 (b) -28 (ecause) -317 (a) -318 (linear)] TJ 0 -14,44 TD [(com) 27 (bination) -354 (is) -355 (a ) -354 (линейный) -355 (функция) -355 (w) 26 (e) -354 (can) -355 (get) -354 (a) 26 (w) 27 (a) 27 (y) -354 ( с) -354 (просто) -355 (описание) -355 (что)] TJ 0 -14,44 TD [(к) -325 (делать) -327 (с) -326 (с) -326 (3) -327 ( базис) -326 (v) 26 (экторы)] TJ / F11 11,95 Tf 155,54 0 TD [(\ ()] TJ / F6 11,95 Tf 4,55 0 TD [(e)] TJ / F7 7,97 Tf 5,43 -1,8 TD [( 1)] TJ / F6 11,95 Tf 4,73 1.8 TD [(;) — 166 (e)] TJ / F7 7,97 Tf 10,66 -1,8 TD [(2)] TJ / F6 11,95 Tf 4,73 1,8 TD [(;) — 167 (e)] TJ / F7 7,97 Tf 10,67 -1,8 TD [(3)] TJ / F11 11,95 Tf 4,73 1,8 TD [(\))] TJ / F5 11,95 Tf 8,45 0 TD [(\ (Rememberm) 26 (b) -26 (er) -326 (эти) -326 (от) -327 (ab) -27 (o) 26 (v) 28 (e? \).)] TJ -191,94 -14,44 TD [(W) 81 (e) -325 (\ 034nd) -327 (что) -326 (если) -326 (w) 26 (e) -325 (использовать) -327 (the) -326 (основание)] TJ / F11 11,95 Tf 165,94 0 TD [(\ ()] TJ / F6 11,95 Tf 4,55 0 TD [(v)] TJ / F7 7,97 Tf 5,66 -1,8 TD [(1)] TJ / F6 11,95 Tf 4,73 1,8 TD [(;) — 166 (v)] TJ / F7 7,97 Tf 10,9 -1 .8 TD [(2)] TJ / F6 11,95 Tf 4,73 1,8 TD [(;) — 166 (v)] TJ / F7 7,97 Tf 10,9 -1,8 TD [(3)] TJ / F11 11,95 Tf 4,73 1,8 TD [(\ ))] TJ / F5 11,95 Tf 8,45 0 TD [(от) -326 (ab) -27 (o) 26 (v) 27 (e,) — 325 (затем :)] TJ / F6 11,95 Tf -98,87 -31,23 TD [(e)] TJ / F7 7,97 Tf 5,42 -1,79 TD [(1)] TJ / F11 11,95 Tf 8,06 1,79 TD [(=)] TJ 14,01 8,09 TD [(1)] TJ ET 0,4 w 197,24 -183,61 м 203,89 -183,61 л S BT / F6 11,95 Tf 197,24 -194,8 TD [(x)] TJ 7,85 8,2 TD [(v)] TJ / F7 7,97 Tf 5,66 -1,79 TD [(1)] TJ / F11 11,95 Tf 7,38 1,79 TD [(+) — 222 (0)] TJ / F6 11,95 Tf 17,61 0 TD [(v)] TJ / F7 7.97 Tf 5,66 -1,79 TD [(2)] TJ / F11 11,95 Tf 7,39 1,79 TD [(+) — 221 (0)] TJ / F6 11,95 Tf 17,61 0 TD [(v)] TJ / F7 7,97 Tf 5,65 -1,79 TD [(3)] TJ / F6 11,95 Tf 4,74 1,79 TD [(:)] TJ / F5 11,95 Tf 118,47 0 TD [(\ (2.1 \))] TJ / F6 11,95 Tf -224,85 -37,7 TD [(e) ] TJ / F7 7,97 Tf 5,42 -1,79 TD [(2)] TJ / F11 11,95 Tf 8,05 1,79 TD [(=) — 278 (0)] TJ / F6 11,95 Tf 18,28 0 TD [(v)] TJ / F7 7,97 Tf 5,65 -1,79 TD [(1)] TJ / F11 11,95 Tf 7,39 1,79 TD [(+)] TJ 13,1 8,09 TD [(1)] TJ ET 0,4 w 228,15 -221,31 м 234,29 -221,31 л S BT / F6 11,95 Tf 228,15 -232,5 TD [(y)] TJ 7.33 8,2 TD [(v)] TJ / F7 7,97 Tf 5,66 -1,79 TD [(2)] TJ / F11 11,95 Tf 7,39 1,79 TD [(+) — 222 (0)] TJ / F6 11,95 Tf 17,61 0 TD [( v)] TJ / F7 7,97 Tf 5,66 -1,79 TD [(3)] TJ / F6 11,95 Tf 4,73 1,79 TD [(:)] TJ / F5 11,95 Tf 118,73 0 TD [(\ (2.2 \))] TJ / F6 11,95 Tf -224,77 -37,7 TD [(e)] TJ / F7 7,97 Tf 5,43 -1,79 TD [(3)] TJ / F11 11,95 Tf 8,05 1,79 TD [(=) — 277 (0)] TJ / F6 11,95 Tf 18,27 0 TD [(v)] TJ / F7 7,97 Tf 5,66 -1,79 TD [(1)] TJ / F11 11,95 Tf 7,38 1,79 TD [(+) — 222 (0)] TJ / F6 11,95 Tf 17,61 0 TD [(v )] TJ / F7 7,97 Tf 5,66 -1,79 TD [(2)] TJ / F11 11,95 Tf 7.39 1,79 TD [(+)] TJ 13,01 8,09 TD [(1)] TJ ET 0,4 w 258,89 -259,01 м 264,86 -259,01 л S BT / F6 11,95 Tf 258,89 -270,2 TD [(z)] TJ 7,17 8,2 TD [( v)] TJ / F7 7,97 Tf 5,65 -1,79 TD [(3)] TJ / F6 11,95 Tf 4,73 1,79 TD [(:)] TJ / F5 11,95 Tf 118,82 0 TD [(\ (2.3 \))] TJ -346,83 -23,9 TD [(W) 81 (e) -280 (список) -281 (the) -281 (co) -27 (ординаты) -281 (для)] TJ / F6 11,95 Tf 137,17 0 TD [(e)] TJ / F7 7,97 Tf 5,42 -1,79 TD [(1)] TJ / F5 11,95 Tf 4,73 1,79 TD [(,)] TJ / F6 11,95 Tf 3,25 0 TD [(e)] TJ / F7 7,97 Tf 5,42 -1,79 TD [ (2)] TJ / F5 11,95 Tf 8,09 1,79 TD [(и)] TJ / F6 11.95 Tf 22,21 0 TD [(e)] TJ / F7 7,97 Tf 5,42 -1,79 TD [(3)] TJ / F5 11,95 Tf 8,09 1,79 TD [(as) -281 (столбец) -281 (v) 26 (экторы) -279 (дюйм) -281 (a) -281 (3×3) -281 (матрица)] TJ -217,35 -14,44 TD [(и) -408 (получить) -409 (a) -408 (\ 020c) 26 (повесить ) -408 (из) -408 (базис \ 021) -491 (матрица) -408 (WHIC) 26 (h) -408 (имеет) -409 (в) -408 (e \ 033ect) -409 (из) — 409 (перевод) -408 (ан) 26 (y)] TJ 0 -14,44 TD [(v) 27 (ector) -325 (от)] TJ / F6 11,95 Tf 62,72 0 TD [(R)] TJ / F7 7,97 Tf 8,91 -1,8 TD [(3)] TJ / F5 11,95 Tf 8,63 1,8 TD [(дюйм) 27 (к) -326 (the) -326 (эллипсоид) -326 (пробел.)] TJ -62,71 -14,44 TD [(The) -326 (матрица) -326 (lo) -27 (oks) -327 (lik) 27 (e) -326 (this :)] TJ / F6 11,95 Tf 117,64 — 40,09 TD [(C) -72 (B) -50 (M)] TJ / F11 11,95 Tf 34,62 0 TD [(=)] TJ / F12 9,96 Tf 12,42 23,5 TD [(2)] TJ 0 -17,53 TD [( 6)] TJ 0 -6,37 TD [(4)] TJ / F7 7,97 Tf 14,49 19,64 TD [(1)] TJ ET 0,4 w 225,93 -351,78 м 233,51 -351,78 л S BT / F13 7,97 Tf 225,93 -358,89 TD [( X)] TJ / F11 11,95 Tf 20,4 4,12 TD [(0) -1091 (0)] TJ -19,54 -14,44 TD [(0)] TJ / F7 7,97 Tf 20,35 4,7 TD [(1)] TJ ET 0,4 w 245,86 -366,22 м 252,65 -366,22 л S BT / F13 7.97 Tf 245,86 -373,33 TD [(Y)] TJ / F11 11,95 Tf 19,36 4,12 TD [(0)] TJ -38,43 -14,44 TD [(0) -1145 (0)] TJ / F7 7,97 Tf 39,24 4,7 TD [( 1)] TJ ET 0,4 w 265 -380,67 м 271,3 -380,67 л S BT / F13 7,97 Tf 265 -387,78 TD [(Z)] TJ / F12 9,96 Tf 12,47 41,97 TD [(3)] TJ 0 -17,53 TD [( 7)] TJ 0 -6,37 TD [(5)] TJ / F5 11,95 Tf 117,79 0,4 TD [(\ (2.4 \))] TJ -346,83 -34,38 TD [(As) -341 (длинный) -341 (as) -342 (w) 26 (e) -340 (stic) 26 (k) -340 (to) -342 (de \ 034ning) -341 (новый) -342 (пробелы) -341 (для) -341 (whic) 26 (h) -341 (the) -341 (c) 26 (hange) -340 (of) -342 (base)] TJ -17.55 -14,44 TD [(матрица) -343 (lo) -27 (oks) -344 (lik) 26 (e) -343 (ab) -27 (o) 26 (v) 28 (e) -343 (\ ( только) -344 (имеет) -344 (ru) 26 (попытки) -343 (вкл.) -344 () -343 (диагональ \)) — 344 (затем) -344 (ш) 26 (д) -343 ( can) -344 (sim -)] TJ 0 -14,44 TD [(plify) -311 (the) -313 (m) 27 (ultiplication) -312 (of) -312 (a) -312 (v) 26 (ector) ) -311 (to) -312 (the) -313 (матрица) -312 (in) 26 (to) -311 (just) -312 (a) -312 (comp) -27 (onen) 26 (t-мудрый) )] TJ 0 -14,44 TD [(m) 27 (повторение.)] TJ 17,55 -14,45 TD [(F) 81 (или) -452 (пример) -453 (w) 26 (e) -452 (перевести) — 453 (a) -452 (v) 26 (ector)] TJ / F6 11.95 Tf 186,76 0 TD [(V)] TJ / F5 11,95 Tf 14,83 0 TD [(дюйм) 26 (к) -452 (наш) -452 (эллипсоид) -453 (пробел) -453 (lik) 26 (e) -452 (это)] TJ -219,14 -14,44 TD [(\ (помнить) 27 (b) -26 (er) -399 (\ (x, y) 80 (, z \)) — 397 (is) -399 (просто) -399 (the) -399 (radius) -399 (v) 26 (ector) -398 (for) -399 (the) -399 (ellipsoid) -399 (de \ 034ning) -399 (the)] TJ 0 -14,44 TD [(пробел \) :)] TJ / F6 11,95 Tf 91,14 -31,69 TD [(V)] TJ / F13 7,97 Tf 6,82 -1,79 TD [(e)] TJ / F11 11,95 Tf 7,75 1,79 TD [ (=)] TJ / F6 11,95 Tf 12,42 0 TD [(C) -71 (B) -51 (M)] TJ / F10 11,95 Tf 33,95 0 TD [(\ 244)] TJ / F6 11.95 Tf 8,63 0 TD [(V)] TJ / F11 11,95 Tf 12,75 0 TD [(=) — 277 (\ ()] TJ 18,56 8,09 TD [(1)] TJ ET 0,4 w 222,5 -519,04 м 229,15 -519,04 л S BT / F6 11,95 Tf 222,5 -530,23 TD [(x)] TJ 7,85 8,2 TD [(;)] TJ / F11 11,95 Tf 6,58 8,09 TD [(1)] TJ ET 0,4 w 236,79 -519,04 м 242,92 -519,04 л S BT / F6 11,95 Tf 236,79 -530,23 TD [(y)] TJ 7,33 8,2 TD [(;)] TJ / F11 11,95 Tf 6,49 8,09 TD [(1)] TJ ET 0,4 w 250,55 -519,04 м 256,52 -519,04 л S BT / F6 11,95 Tf 250,55 -530,23 TD [(z)] TJ / F11 11,95 Tf 7,17 8,2 TD [(\))] TJ / F6 11,95 Tf 4,55 0 TD [(V)] TJ / F11 11.95 Tf 12,74 0 TD [(=)] TJ / F6 11,95 Tf 28,08 8,09 TD [(V)] TJ ET 0,4 w 288,63 -519,04 м 326,97 -519,04 л S BT / F11 11,95 Tf 288,63 -530,23 TD [(\ () ] TJ / F6 11,95 Tf 4,55 0 TD [(x;) — 166 (y) -36 (;) — 167 (z)] TJ / F11 11,95 Tf 29,24 0 TD [(\))] TJ / F5 11,95 Tf 72,84 8,2 TD [(\ (2,5 \))] TJ -346,83 -26,89 TD [(A) 27 (t) -397 (мужчины) 27 (поднятый) -397 (ab) -27 (o) 26 (v) 28 ( e) -397 (это)] TJ / F9 11,95 Tf 133,13 0 TD [(только)] TJ / F5 11,95 Tf 27 0 TD [(удерживает) -397 (для) -397 (c) 26 (повесить) -396 ( of) -398 (базис) -397 (матрицы) -397 (whic) 26 (h)] TJ -177,68 -14,44 TD [(только) -411 (имеет) -412 (en) 26 (пытается) -411 (на ) -412 (в) -412 (диагональ) -412 (и) -411 (те) -412 (пробелы) -412 (просто) -412 (счастье) -27 (энс) -412 (в) -412 (включая )] TJ 0-14.44 TD [(те) -293 (y) 26 (ou) -293 (get) -294 (from)] TJ / F6 11,95 Tf 98,3 0 TD [(R)] TJ / F7 7,97 Tf 8,9 -1,79 TD [( 3)] TJ / F5 11,95 Tf 8,25 1,79 TD [(когда) -294 (y) 26 (ou) -293 (m) 27 (окончательно) -294 (eac) 27 (h) -294 (базис) -294 ( v) 27 (ector)] TJ / F11 11,95 Tf 187,3 0 TD [(\ ()] TJ / F6 11,95 Tf 4,55 0 TD [(e)] TJ / F7 7,97 Tf 5,42 -1,79 TD [(1)] TJ / F6 11,95 Tf 4,73 1,79 TD [(;) — 167 (e)] TJ / F7 7,97 Tf 10,67 -1,79 TD [(2)] TJ / F6 11,95 Tf 4,73 1,79 TD [(;) — 166 (e)] TJ / F7 7,97 Tf 10,67 -1,79 TD [(3)] TJ / F11 11,95 Tf 4,73 1,79 TD [(\))] TJ / F5 11,95 Tf 8.07 0 TD [(с) -293 (a)] TJ -356,32 -14,44 TD [(констан) 27 (t.) — 415 (If) -269 (y) 26 (ou) -269 (c) 27 (hec) ) 27 (k) -269 (bac) 27 (k,) — 280 (это) -270 (точно) -269 (what) -269 (w) 26 (e) -269 (do) -269 (to) — 269 ​​(ac) 26 (hiev) 27 (e) -268 (the) -270 (‘масштабирование)] TJ 0 -14,45 TD [(tric) 27 (k’) — 325 (ab) -27 (o) 26 ( v) 27 (e.)] TJ 191,29 -69,59 TD [(8)] TJ ET конечный поток endobj 83 0 объект > endobj 75 0 объект > endobj 86 0 объект > >> поток x + T03T0

Эллиптические интегралы — CodeProject

Введение

Эллиптические интегралы первого и второго типа приведены в коде с некоторыми примерами их реализации.Недавно мне понадобились интегралы такого типа, как полные, так и неполные, и такие реализации было нелегко найти (я, как обычно, ничего не мог найти в C # или VB, а версии C ++, которые я нашел, не работали должным образом ).

Когда я искал в Интернете решения, я понял, что есть несколько статей, посвященных реализации неполных интегралов и тому, как их можно использовать для решения некоторых конкретных проблем. Так что я также включил основную теорию реализации.

Предпосылки

Определение многоточия происходит от греческого слова elleipsis , которое означает «овал». Он относится к форме объекта, сформированного, как показано ниже.

В эллипсисе интересно то, что во многих отношениях он образован деформированным кругом, и при дальнейшем исследовании некоторые формулы на самом деле являются просто расширением круговой формулы. Различные формулировки для формирования эллипса и круга в декартовых координатах очень похожи:

Форма			Функция декартовой генерации
Окружность			(x 2 / R 2 ) + (y 2 / R 2 ) = 1
Эллипс			(x 2 / A 2 ) + (y 2 / B 2 ) = 1

В таблице R — радиус окружности, а A и B — два разных «радиуса» эллипса.Если посмотреть на два уравнения, можно ожидать некоторого сходства в вычислении его свойств. Начнем с расчета площади:

Форма			Площадь
Окружность			Pi * R 2
Эллипс 33	Pi	*

Это кажется очень естественным обобщением, учитывая формулу круга. Мы продолжаем вычисления объема, и на этот раз названия круга и эллипсов сменились на Эллипсоид и Сферу:

Форма			Объем
Сфера			(4/3) * Pi * R 3
Эллипсоид			(4/3) * Pi * A * B * C

Теперь есть одна область, где формулы кругов и сфер не расширяться до эллипсов и эллипсоидов, а касается длины дуги и площади поверхности соответственно.(Я пропустил пример сфероида, площадь поверхности которого можно было найти с помощью тригонометрических функций.)

Первым, кто предложил решение этой проблемы, был Уоллис. Однако в связи с характером прогрессии я сначала расскажу о другом основном математическом инструменте, а именно об интеграции.

Интеграция

Это может удивить людей, которые научились интегрировать функции в школе, но изобретателем формулы интеграции на самом деле приписывают Ферма (и другую версию Уоллиса) около 1640 года, за тридцать лет до того, как Ньютон и Лейбниц открыли дифференциальное исчисление.

Ферма открыл способ вычисления площади под гиперболической кривой. Он просто получил лекарство, используя ряд степеней. Он сделал следующее:

Картинка взята из статьи Джоэла Розенфельда и может быть просмотрена здесь (в этой статье дан немного другой подход к демонстрации того же. Последний следует подходу Архимеда к истощению). Функция равна y = x ^k , и при выборе r <1 можно сформировать геометрический ряд, где выбор r может привести к бесконечно малым суммированиям при условии, что r приближается, но не равно 1.У каждого прямоугольника есть площадь, определяемая формулой ниже:

И если вы выполните дальнейшие шаги, описанные в вышеупомянутой статье, вы в конечном итоге получите формулу для интеграла от 0 до (что означает площадь под кривой):

И Ферма, и Уоллис упустили из виду тот факт, что интеграция и дифференциалы являются противоположностями друг друга, за исключением того, что это действительно было открытием Ньютона и Лейбница. Для более полной истории интеграции вы можете прочитать статью здесь.Именно работа Уоллиса позволила ему вычислить приблизительную формулу длины дуги эллипса.

Доказательство Ферма действительно жизненно важно для нескольких инженерных задач, так как теперь можно решать множество задач, связанных с степенными рядами и расширениями рядов, используя разложения задач в ряды Тейлора или Маклаурина. На самом деле именно этот метод используется для определения длины дуги на эллиптических фигурах.

Полное решение уравнения маятника — Эллиптические интегралы первого рода

Этот тип уравнения был выведен не первым, несмотря на его название, но можно записать точное решение уравнения маятника, используя эллиптические интегралы Первого рода.Вывод довольно длинный, и я просто собираюсь показать вам основные шаги, которые нужно выполнить, чтобы понять, как это происходит. Полный вывод уравнения можно увидеть в серии видео, приведенной в справочных материалах.

Если у нас есть маятник, который удерживается на веревке и с максимальным углом смещения, мы можем записать уравнение следующим образом:

После этого первого раздела большинство учебников теперь заменяют sin x на x в качестве приближение. Это хорошо работает для малых углов, так как функция sin может быть выражена в виде ряда x, где x является первым коэффициентом.Однако, если кто-то не хочет этого делать, то можно переформулировать задачу, интегрировав последние предыдущие уравнения, и использовать начальные условия, чтобы найти постоянную интегрирования:

. Используя определения, мы пришли к эллиптическому виду интеграл. Но чтобы получить его в стандартизированной форме, можно использовать следующую тригонометрическую замену:

И получившееся уравнение принимает вид:

Изменяя подынтегральное выражение, можно преобразовать приведенное выше уравнение (неполная эллиптическая функция первого рода, мы назовем его неполным, если он не равен 90 градусам) к нормализованному полному эллиптическому интегралу первого рода с константой k, определяемой как:

И результирующее выражение с полным эллиптическим интегралом первого рода в левой части имеет вид :

Вывод выражения довольно схематичен, и я сознательно пропустил некоторые шаги.Дело здесь в том, чтобы просто показать одно из применений эллиптического интеграла первого рода. Таким образом, полную формулировку периода времени T можно вычислить, используя выражение выше, а полный интеграл первого рода — буквой E (неполный эллиптический интеграл первого рода обычно обозначается буквой F):

Это Теперь результат можно сравнить с результатом аппроксимации, который обычно делается в большинстве учебников с малым углом, что означает намного меньший, чем угол радиан 1:

Приведенное выше уравнение было впервые найдено Кристианом Гюйгенсом, который также предложил более сложный маятник. в часах.Причина в том, что маятник из-за трения и других сил в реальном мире немного изменит период времени, а это не нужно для чего-то вроде часов. Он обнаружил, что для того, чтобы период времени не зависел от угла, вам нужно было бы двигать маятник по циклоидной орбите, а не по круговой. Позже другие люди нашли практический способ достижения такой орбиты.

Фактический код для эллиптического интеграла может быть найден с помощью расширения ряда Маклаурина, а код для полного эллиптического интеграла первого вида:

 Открытая функция CompleteEllipticIntegralFirstKind (ByVal k As Double) As Double
    Димсам, срок, сверху, снизу как двойное
    сумма = 1
    термин = 1

    выше = 1
    ниже = 2

    Для i как целое число = от 1 до 100
        срок * = выше / ниже
        сумма + = Мат.Pow (k, i) * Math.Pow (член, 2)
        выше + = 2
        ниже + = 2
    следующий
    сумма * = 0,5 * Math.PI
    Сумма возврата
Конечная функция
 

Это стандартные решения из учебников, однако большинство решений ограничиваются только небольшими смещениями тэты, поскольку это уравнение очень легко решить. Если вместо этого вы начнете разрабатывать решение для всех углов до 90 градусов (это означает, что струна маятника параллельна земле), вам придется прибегнуть к эллиптическим интегралам первого рода.Если вы этого не сделаете, в вашем решении будут довольно большие ошибки, которые можно увидеть здесь как функция угла.)

Уравнение маятника на самом деле очень важно в такой науке, как акустика, если бы скорость звука могла быть быть выведенным из уравнения маятника (на самом деле это был первый постулат Ньютона, но это было сильно оспорено Лагранжем, который нашел более сложный способ вычисления скорости звука. К изумлению Лагранжа, решения были в точности такими же.Для полной истории вы можете прочитать введение в классические произведения лорда Рэлея Теория звука Том 1).

Длина эллиптической дуги — Эллиптические интегралы второго рода

Эллиптические функции впервые появились в 1655 году, когда Джон Уоллис попытался найти длину дуги эллипса, однако эллиптические интегралы получили свое название от Легрендра на основании того факта, что эллиптические интегралы от второй тип дает длину дуги эллипса.

Мы начинаем с определения эллипса, который в декартовых координатах дает (что даст вам любое соответствующее значение x или y при одном вводе, если a> b):

Уравнение выше находится в декартовой системе координат. (x, y, z), а для вычисления длины дуги нам пришлось бы преобразовать задачу в полярную систему координат (r, theta).Это действительно была система, которую использовали Гаусс, Лагранж, Абель и Якоби, поскольку все они обнаружили, что функцию эллипса можно записать в виде двух отдельных окружностей, по одной на каждую длину от начала эллипса. Я имею в виду следующее:

Здесь маленький r — радиус маленького (красного) круга, который представляет самую короткую ширину эллипса, а заглавная буква R представляет длинную ширину эллипса синего цвета. Затем каждую точку на эллипсе можно было найти, используя разные длины сторон.

Причиной этого является то, что теперь мы можем составить уравнение, которое описывает изменение эллипса в зависимости от угла. Однако у нас есть два разных круга, которые нам нужно сложить, используя теорему Пифагора. По сути, после некоторых манипуляций мы получаем это уравнение:

Теперь найдено изменение длины дуги для каждого угла, остается только интегрировать по всем возможным углам. Однако полный эллиптический интеграл берется от 0 до 90 градусов, но так как это ровно 1/4 от общей длины дуги из-за симметрии.В результате получается уравнение:

Но только в конце 1700-х годов Лежандр начал использовать эллиптические функции для решения таких задач, как движение простого маятника и отклонение тонкого упругого стержня, которые могли решить эти типы задач. определяется в терминах простых функций.

 Открытая функция CompleteEllipticIntegralSecondKind (ByVal k As Double) As Double
    Димсам, срок, сверху, снизу как двойное
    сумма = 1
    термин = 1

    выше = 1
    ниже = 2

    Для i как целое число = от 1 до 100
        срок * = выше / ниже
        сумма - = Мат.Pow (k, i) * Math.Pow (term, 2) / выше
        выше + = 2
        ниже + = 2
    следующий
    сумма * = 0,5 * Math.PI
    Сумма возврата
Конечная функция
 

Неполные эллиптические интегралы первого и второго рода

Приближение, показанное для полных эллиптических интегралов выше, обычно достаточно хорошо для большинства целей, но когда дело доходит до неполных версий, рекомендуется использовать более современный подход . Это именно симметричная форма Карлсона, и для выполнения первого и второго типа нужно только реализовать Rf и Rd из этих двух.

Основная статья, в которой большая часть информации, касающейся реализации, взята из нового издания «Справочника по математическим функциям», которое доступно онлайн здесь.

Реализация Rf приведена ниже:

 Частная функция RF (ByVal X как Double, ByVal Y как Double, ByVal Z как Double) как Double
    Тусклый результат как двойной
    Dim A, lamda, dx, dy, dz как двойной
    Dim MinError As Double = 0,0000001

    Делать
        lamda = Math.Sqrt (X * Y) + Math.Sqrt (Y * Z) + Математика.2 * E3

    результат * = (1 / Math.Sqrt (A))
    Вернуть результат

Конечная функция
 

И для Rd:

 Частная функция RD (ByVal X как Double, ByVal Y как Double, ByVal Z как Double) как Double
    Dim sum, fac, lamda, dx, dy, dz, A, MinError как двойное
    MinError = 0,000000001

    сумма = 0
    fac = 1

    Делать
        lamda = Math.Sqrt (X * Y) + Math.Sqrt (Y * Z) + Math.Sqrt (Z * X)
        сумма + = fac / (Math.Sqrt (Z) * (Z + lamda))

        fac / = 4

        Х = (Х + ламда) / 4
        Y = (Y + ламда) / 4
        Z = (Z + lamda) / 4

        А = (Х + Y + 3 * Z) / 5

        dx = (1 - Х / А)
        dy = (1 - Y / A)
        dz = (1 - Z / A)

    Цикл при математике.2, 1)
    Вернуть результат
Конечная функция
 

Я протестировал функции по значениям, данным Wolfram, и они, кажется, идеально совпадают. Однако вы не можете проводить слишком много тестирования для функции как эта, и я не буду давать никаких обещаний, что она даст точные результаты для любых значений.

Эллиптические кривые

Термин «эллиптические кривые» на самом деле вводит в заблуждение, поскольку на практике они имеют очень мало общего с многоточием. Название происходит от Якоби, который нашел эллиптические кривые при обращении эллиптического интеграла первого рода, названного эллиптическими функциями Якоби.Позже Карл Вейерштрасс расширил теорию и нашел простую эллиптическую функцию, выраженную в общем виде.

Их довольно сложно объяснить, поэтому я просто собираюсь упомянуть о многих значениях этих кривых. Они используются в доказательстве Уайлса последней теоремы Ферма, а также в нескольких задачах чистой математики. Эллиптические кривые также используются в криптографии, поскольку это очень эффективный шифровальщик, что означает, что он часто используется в небольших устройствах, таких как мобильные телефоны и т. Д.

Ссылки

Интернет-статьи по эллиптическим функциям, кривым и уравнениям:

Online pdf и документы power point

Книги

Электронные книги

Видео

Эллипсоидальное исчисление — Ellipsoidal Toolbox 2.0.1 документация

Основные понятия

Начнем с основных определений.

Определение. Эллипсоид в с центром и матрицей формы набор

(1)

где — положительно определенный (и для всех ненулевых). Здесь обозначает внутренний продукт.

Определение. Опорная функция набора это

В частности, опорная функция эллипсоида (1) равна

(2)

Хотя в (1) предполагается положительно определенная, на практике мы можем иметь дело с ситуациями, когда единственное, что , с вырожденными эллипсоидами, плоскими в тех направлениях, для которых соответствующие собственные значения равны нулю.Поэтому полезно дать альтернативное определение эллипсоида с использованием выражения (2).

Определение. Эллипсоид с центром а матрица формы — набор

(3)

, где матрица положительно полуопределенная (и для всех ). Объем эллипсоида

(4)

где — объем Единица мяч в:

(5)

Расстояние от до фиксированной точки это

(6)

Если, лежит снаружи ; если , является границей точка; если , является внутренним точка.

Учитывая два эллипсоида, и , расстояние между ними

(7)

Если, эллипсоиды не имеют общих точек; если , то эллипсоиды имеют одну общую точку — они соприкасаются; если , то эллипсоиды пересекаются.

В поисках с использованием QCQP —

при условии:

где

Проверка невырожденных эллипсоидов непустой пересечения, можно представить как квадратично ограниченный квадратичный проблема программирования (QCQP):

при условии:

Если эта проблема возможна, перекресток непустой.

Определение. Для данного компактного выпуклого множества его полярные набор, обозначенный, составляет

или, что эквивалентно,

Свойства полярного набора

Если невырожденный эллипсоид содержит происхождение, его полярное множество также является эллипсоидом:

Особый случай —

Определение. Данные компакты , их геометрическая сумма (Минковского) —

(8)

Определение. Даны два компакта , их геометрическая (Минковского) разница составляет

(9)

Эллипсоидальное исчисление включает следующий набор операций:

• аффинное преобразование эллипсоида;
• геометрическая сумма конечного числа эллипсоидов;
• геометрическая разность двух эллипсоидов;
• пересечения конечного числа эллипсоидов.

Эти операции выполняются при расчете достижимости и проверке кусочно-аффинные динамические системы.Результат всего этого операций, за исключением аффинного преобразования, это , а не , как правило, эллипсоид, но некоторое выпуклое множество, для которого мы можем вычислить внешние и внутренние эллипсоидальные приближения.

Дополнительные операции, реализованные в Ellipsoidal Toolbox , включают внешние и внутренние приближения пересечений эллипсоидов с гиперплоскости, полупространства и многогранники.

Определение. Гиперплоскость в это набор

(10)

с фиксированной.Расстояние от эллипсоида до гиперплоскость

(11)

Если, эллипсоид и гиперплоскости не пересекаются; если , гиперплоскость есть опорная гиперплоскость для эллипсоида; если , эллипсоид пересекает гиперплоскость. Пересечение эллипсоида с гиперплоскость всегда является эллипсоидом и может быть вычислена напрямую.

Проверка наличия пересечения невырожденных эллипсоидов пересекает гиперплоскость , эквивалентно проверке выполнимости QCQP проблема:

при условии:

Гиперплоскость определяет два (замкнутых) полупространства :

(12)

и

(13)

Однако, чтобы избежать путаницы, мы будем далее предполагать, что гиперплоскость задает полупространство в смысле (12).Чтобы сослаться на другое полупространство, эта же гиперплоскость должна быть определяется как .

Идея расчета пересечения эллипсоида с полупространство — рассматривать полупространство как неограниченный эллипсоид, то есть как эллипсоид с матрицей формы, все собственные значения которой, кроме одного находятся .

Определение. Многогранник пересечение конечного числа замкнутых полупространств:

(14)

где и . Расстояние от эллипсоида к многограннику это

(15)

откуда родом ([dist: sub: p oint]).Если , эллипсоид и многогранники не пересекаются; если , эллипсоид касается многогранник; если, то эллипсоид пересекает многогранник.

Проверка наличия пересечения невырожденных эллипсоидов пересекает многогранник эквивалентно проверке выполнимости QCQP проблема:

при условии:

Операции с эллипсоидами

Геометрическая сумма

Рассмотрим геометрическую сумму (8), в которой , невырожденные эллипсоиды, .Результирующий набор обычно не эллипсоид. Тем не менее, это может быть сильно аппроксимировано параметризованные семейства внешних и внутренних эллипсоидов.

Пусть параметром будет некоторый ненулевой вектор в. Тогда внешнее приближение и внутренняя аппроксимация суммы находятся плотно по направлению, т.е.

и

Здесь центр

(17)

матрица формы внешнего эллипсоида

(18)

, а матрица формы внутреннего эллипсоида —

(19)

с матрицами, ортогональными () и такие, что векторы параллельны.

Варьируя вектор получаем точный внешний и внутренний аппроксимации,

Доказательства формул, приведенных в этом разделе, см. В [KUR1997], [KUR2000].

Последний комментарий о том, как найти ортогональные матрицы. которые выравнивают векторы с участием . Позволять и быть некоторыми единичными векторами в. Нам нужно найти такую ​​матрицу, что . Предлагаем явные формулы для расчет этой матрицы [DAR2012]:

(20)

(21)

(22)

Геометрическая разница

Рассмотрим геометрическую разность (9), в которой множества и невырождены эллипсоиды и .Мы говорим, что эллипсоид на больше, чем на эллипсоида если

Если это условие не выполняется, геометрическая разность это пустой набор:

Если больше, чем и является больше, чем, другими словами, если ,

Чтобы проверить, больше ли эллипсоид эллипсоид, выполняем одновременный диагонализацию матриц и, т.е. найти такую ​​матрицу, что

где — некоторая диагональная матрица.Одновременная диагонализация из и возможно, потому что оба симметричны положительно определенная (см. [GANT1960]). Чтобы найти такую ​​матрицу , сначала делаем СВД:

(23)

Тогда СВД матрицы :

(24)

Теперь определяется как

(25)

Если самый большой диагональный элемент (собственное значение) матрицы меньше или равно, .

Когда установлено, что эллипсоид больше эллипсоида, мы знаем, что их геометрическая разница непусто выпуклый компакт.Хотя обычно это не эллипсоид, мы можем найти точные внешние и внутренние приближения этого множества параметризованных по вектору. Однако в отличие от геометрической суммы эллипсоидальные приближения для геометрической разности не существуют для каждое направление. Векторы, для которых приближения не работают Существуют плохих направления .

Учитывая два эллипсоида и с участием , это плохое направление если

, в котором — минимальный корень уравнения

Чтобы найти, вычислите матрицу по (23) — (25) и определим

Если не плохое направление, мы можем найти тугие внешние и внутренние эллипсоидальные приближения и так что

и

Центр

(26)

матрица формы внутреннего эллипсоида

, а матрица формы внешнего эллипсоида —

(27)

Вот такая ортогональная матрица, что векторы и параллельны.является находится из (20) — (22), причем и .

Пробежав все неплохие направления агрегата, получаем

Доказательства формул, приведенных в этом разделе, см. В [KUR1997].

Сумма геометрической разности

Даны эллипсоиды, и это возможно вычисление семейств внешних и внутренних аппроксимирующих эллипсоиды для

(28)

параметризовано по направлению, если этот набор не пуст ().

Сначала, используя результат предыдущего раздела, для любого направления что неплохо, получаем тугие внешние и внутренние аппроксимации множества .

Второй и последний шаг — с помощью результата раздела 2.2.2 найти точное внешнее эллипсоидальное приближение суммы , и точное внутреннее эллипсоидальное приближение на сумму .

В результате получаем

и

Перебирая все неплохие единичные векторы, это переводится как

Геометрическая сумма-разность

Даны эллипсоиды, и это возможно вычисление семейств внешних и внутренних аппроксимирующих эллипсоиды для

(29)

параметризовано по направлению, если этот набор не пуст ().

Сначала, используя результат раздела 2.2.2, получаем тугую внешнюю и внутренние эллипсоидальные аппроксимации набор . В целях для непустоты множества (29) включение должно быть верно для любого. Заметим, однако, что даже если (29) непустой, может быть, , тогда внутреннего приближения для этого направления не существует.

Предполагая, что (29) непусто и , секунда step будет, используя результаты раздела 2.2.3, вычислить внешнее эллипсоидальное приближение разницы , который существует только в том случае, если он неплох, и плотный внутренний эллипсоидальное приближение разница , который существует только в том случае, если неплохо для этой разницы.

Если приближение существует, то

и

Если приближение существует, то

и

Для любого фиксированного направления может случиться так, что ни одно из существуют внешние или внутренние жесткие эллипсоидальные приближения.

Пересечение эллипсоида и эллипсоида

Для двух невырожденных эллипсоидов и , означает, что

Это пересечение можно аппроксимировать эллипсоидами снаружи. и изнутри.Тривиально, оба и являются внешними приближениями этого пересечение. Однако здесь мы покажем, как найти внешние эллипсоидальная аппроксимация минимального объема.

Определить матрицы

Приближение внешнего эллипсоида минимального объема перекрестка определен из системы уравнений:

(30)

(31)

(32)

(33)

(34)

с. Подставляем, , определенные в (31) — (33) в (34) и получим многочлен степени по , имеющая только один корень в интервале, .Затем, подставив в (30) — (33) получаем и. Специальный случаи, откуда , и откуда . Эти ситуации может произойти, если, например, один эллипсоид содержится в другом:

Доказательство того, что система уравнений (30) — (34) правильно определяет минимальное объемное внешнее эллипсоидальное приближение i пересечение приведено в [ROS2002].

Найти внутренний аппроксимирующий эллипсоид , определить

(35)

(36)

Обратите внимание, что (35) и (36) являются проблемами QCQP.Параметры и инвариантны относительно аффинных преобразование координат и описание положения эллипсоидов , с участием уважение друг к другу:

Определить параметризованное семейство внутренних эллипсоидов с

(37)

(38)

Лучший внутренний эллипсоид в классе (37) — (38), а именно такой, что

для всех, определяется параметры

(39)

с

Это эллипсоид, который мы ищем: .Два особых случая:

и

Метод нахождения внутреннего эллипсоидального приближения пересечение двух эллипсоидов описано в [ВАЗ1999].

Пересечение эллипсоида и полупространства

Нахождение пересечения эллипсоида и полупространства сводится к нахождение пересечения двух эллипсоидов, один из которых неограничен. Пусть — невырожденный эллипсоид и пусть определить полупространство

Надо определить, есть ли перекресток пусто, а если нет, найти его внешнее и внутреннее эллипсоидальные приближения, и .Два тривиальные ситуации:

В случае, т.е. эллипсоид пересекает гиперплоскость,

с

(40)

(41)

— наибольшее собственное значение матрицы . После определения получаем из уравнений (30) — (34), и из (37) — (38), (39).

Замечание. Обратите внимание, что матрица имеет ранг, который делает его особенным для. Тем не менее, выражения (30) — (31), (37) — (38) имеют смысл, потому что неособое, и .

Для нахождения эллипсоидальных приближений и пересечения эллипсоида и многогранник, « такие, что

сначала вычисляем

, где — полупространство, определяемое первая строка матрицы, и первый элемент вектор,.Затем один за другим получаем

В результате получаются эллипсоидальные приближения

Эллипсоиды минимального объема

Эллипсоид минимального объема, который содержит множество, называется Эллипсоид Лёвнера-Джона множества. Чтобы охарактеризовать это, мы перепишите общий эллипсоид как

где

Для положительно определенной матрицы объем пропорционально. Так, нахождение содержащего эллипсоида минимального объема может быть выражается как задача полуопределенного программирования (SDP)

при условии:

где переменные и , и есть неявное ограничение (положительно определен).Цель и функции ограничения являются выпуклыми по и, так что это задача выпуклая. Однако для вычисления функции ограничения требуется решает задачу выпуклой максимизации и решаема только в определенных Особые случаи.

Для конечного множества эллипсоид покрывает тогда и только тогда, когда он покрывает свою выпуклую оболочку. Так, нахождение покрытия эллипсоида минимального объема аналогично нахождение эллипсоида минимального объема, содержащего многогранник . Проблема SDP —

при условии:

Мы можем найти эллипсоид минимального объема, содержащий объединение эллипсоиды.Используя факт это если и только если существует такое, что

Изменяя переменную, получаем выпуклый SDP в переменные, и :

при условии:

После и найдены,

Результаты для эллипсоидов минимального объема объяснены и доказаны в [BOYD2004].

Эллипсоиды максимального объема

Рассмотрим задачу поиска эллипсоида максимального объема, лежащего внутри ограниченного выпуклого множества с непустой внутренностью.Чтобы сформулируем эту задачу, перепишем общий эллипсоид как

где, значит, объем пропорционально.

Эллипсоид максимального объема, который находится внутри, можно найти по формуле решение следующей задачи SDP:

при условии:

в переменных — симметричная матрица, и, с неявным ограничением, где функция индикатора:

В случае многогранника с определенным в (14) SDP имеет вид

при условии:

Мы можем найти эллипсоид максимального объема, который находится внутри пересечение заданных эллипсоидов .Используя тот факт, что для тогда и только тогда, когда существует такое, что

Чтобы найти эллипсоид максимального объема, мы решаем выпуклую SDP в переменных , и:

при условии:

После и найдены,

Результаты для эллипсоидов максимального объема объяснены и подтверждены в [BOYD2004].

Ссылки

[DAR2012]

A. N.Дарийн и А.Б. Куржанский. Метод инвариантных множеств для линейных систем большой размерности при неопределенных возмущениях. Доклады Академии Наук, , 446 (6): 607–611, 2012.

[GANT1960]

Gantmacher. Матричная теория, I-II. Челси, , 1960.

[ROS2002]

F.Томас Л. Рос, А. Сабатер. Эллипсоидальное исчисление, основанное на распространении и слиянии. IEEE Transactions on Systems, Man and Cybernetics, Part B: Cybernetics , 32 (4), 2002.

[ВАЗ1999]

А.Ю. Важенцев. О внутренних эллипсоидальных аппроксимациях для задач управления и синтеза. с ограниченными координатами. Известия Российской Академии Наук. Теория и Системы Управления ., 1999.

[BOYD2004]

(1, 2, 3) Boyd and L.Vandenberghe. Выпуклая оптимизация . Cambridge University Press, 2004. .

.